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Sommaire
1 Couples et produits cartésiens d'ensembles
1.1 Couples
1.2 Produit cartésien de deux ensembles
2 Relation d'un ensemble E vers un ensemble F
2.1 Diagramme sagittal
2.2 Diagramme cartésien
3 Graphe d'une relation
4 Relation dans un ensemble E
4.1 Relations réflexives
4.2 Relations symétriques
4.3 Relations antisymétriques
4.3.1 Définition équivalente de l'antisymétrie
4.4 Relations transitives
5 Relations d'équivalence
5.1 Définition
5.2 Partition d'un ensemble
5.3 Classes d'équivalence
5.3.1 Propriétés des classes (d'équivalence) selon une relation d'équivalence R
5.4 Ensemble quotient selon une relation d'équivalence
5.5 Loi quotient d'une loi de composition interne par une relation d'équivalence
6 Applications
6.1 Définitions
6.2 Propriétés des applications
6.2.1 Images d'ensembles
6.2.2 Images réciproques d'ensembles
6.2.3 Image réciproque d'une image ; image d'une image réciproque
6.3 Applications particulières
6.3.1 Injections
6.3.2 Propriété importante
6.3.3 Surjections
6.3.4 Propriété importante
6.3.5 Bijections
6.3.6 Propriété importante
6.3.7 Bijections réciproques
7 Fonctions
Avertissement : il est conseillé d'avoir étudié "Logique" et "Ensembles" avant d'aborder le présent cours.
Il contient un grand nombre de matériaux très divers, mais également très utiles dans nombre de domaines.
[modifier (
modifier-400-section-1.cours)]Couples et produits cartésiens d'ensembles
Soient deux ensembles
[modifier ( modifier-400-section-2.cours)]Couples
Un couple est la donnée de deux objets, un premier () et un second (
), noté
.
Si , alors
Un couple est défini (existe) si les deux objets qui le constituent sont définis.
[modifier ( modifier-400-section-3.cours)]Produit cartésien de deux ensembles
L'ensemble des couples , où
, est appelé produit cartésien de
par
et noté
(lire "E croix F") :
D'après ce que nous avons dit plus haut sur l'existence d'un couple, on peut dire
ou, ce qui revient au même
On note le produit cartésien
(lire "
carré", ou "
deux")
[modifier ( modifier-400-section-4.cours)]Relation d'un ensemble E vers un ensemble F
Une relation d'un ensemble vers un ensemble
est un être mathématique qui consiste à faire correspondre à certains éléments de
certains éléments de
.
On dit que est l'ensemble de départ de la relation, ou la source, et que
est l'ensemble d'arrivée, ou le but.
Exemple
Soit un groupe de jeunes Belges,
un groupe de jeunes Français,
la relation de
vers
, défini par
On peut représenter la relation par un schéma, dit diagramme sagittal, où les correspondances sont figurées par des flèches :
[modifier ( modifier-400-section-5.cours)]Diagramme sagittal
Ce diagramme exprime, bien sûr, que
- Jacques a pour ami(e) Doreen
- Mathé a pour amis Doreen et Thomas
- Louis n'a pas d'amis
- Evelyne a pour ami Kevin
- Catherine a pour amis Franck et Adeline
Attention, cette relation est définie sur les deux ensembles
et seulement dans le sens de .
Elle ne dit rien sur d'éventuels amis des uns et des autres hors de ces deux ensembles.
[modifier ( modifier-400-section-6.cours)]Diagramme cartésien
Au lieu de représenter les correspondances par des flèches, on peut représenter (dans un certain ordre) tous les couples de , pour garder l'exemple, et cocher les couples
pour lesquels
est en relation avec
(ici :
est l'ami de
)
Cela donne :
[modifier ( modifier-400-section-7.cours)]Graphe d'une relation
Définition : Le graphe d'une relation de
vers
est l'ensemble des couples
tels que
; on le note
:
Bien entendu, c'est une partie de :
(Voir le schéma plus haut)
Dans l'exemple précédent,
[modifier ( modifier-400-section-8.cours)]Relation dans un ensemble E
Si (les ensembles de départ et d'arrivée sont identiques), alors au lieu de dire "
est une relation de
vers
, on dit que
est une relation dans
.
[modifier ( modifier-400-section-9.cours)]Relations réflexives
On dit qu'une relation dans
est réflexive si, pour tout
, on a
.
Exemples
- L'égalité est une relation réflexive par excellence !
- Le parallélisme des droites :
- La relation "x R y
x - y = multiple de 5", en effet, x - x = 0 = multiple de 5 (
)
- La relation "divise" dans
(notée |) :
, en effet
car
[modifier ( modifier-400-section-10.cours)]Relations symétriques
On dit qu'une relation dans
est symétrique si, pour tout
, on a
Exemples
- L'égalité, prototype des relations symétriques :
- Le parallélisme des droites :
- La relation "x R y
y - x = - 3k.
- La relation "est de la même classe que" : en effet, x est de la même classe que y
[modifier ( modifier-400-section-11.cours)]Relations antisymétriques
On dit qu'une relation dans
est antisymétrique si, pour tout
,
Exemples
- La relation
: c'est le prototype des relations antisymétriques, parce qu'il est évident que
.
- La relation
(inclusion d'ensembles) :
- La relation "divise" dans
, en effet, si l'on peut écrire, avec
, alors
, et la seule possibilité est
, d'où
[modifier ( modifier-400-section-12.cours)]Définition équivalente de l'antisymétrie
On peut donner une autre définition de l'antisymétrie d'une relation :
est antisymétrique si
.
En effet, écrivons la définition initiale de l'antisymétrie, en la contraposant (voir cours de Logique) :
Donc
La distributivité de sur
permet d'écrire ceci sous la forme
La propriété est toujours fausse. Il reste
et en particulier
Exemple
La relation dans
est antisymétrique :
ce que chacun traduit aisément par
[modifier ( modifier-400-section-13.cours)]Relations transitives
On dit qu'une relation dans
est transitive si, pour tout
Exemples
- L'égalité est par excellence transitive : (x = y et y = z)
- Le parallélisme, évidemment, aussi :
- La relation "divise" aussi :
, en effet : s'il existe
tels que
, alors
.
[modifier ( modifier-400-section-14.cours)]Relations d'équivalence
Nous abordons ici une classe de relations de la plus haute importance : les relations d'équivalence. Leurs prototypes sont l'égalité et le parallélisme des droites.
C'est un puissant moyen de rangement, de classement, et de raisonnement, de prouver.
[modifier ( modifier-400-section-15.cours)]Définition
Une relation dans un ensemble
est appelée relation d'équivalence si elle est :
- réflexive :
- symétrique :
- transitive :
Exemples
- L'égalité, puisque x = x ; x = y
- Le parallélisme des droites, puisque D//D ; D//D'
- La relation dans l'ensemble des humains : "est compatriote de"
- La relation dans
; en effet
(i) puisque 0 est multiple de 4
(ii) puisque
(iii)
[modifier ( modifier-400-section-16.cours)]Partition d'un ensemble
Soit un ensemble .
On appelle partition de l'ensemble un ensemble de parties de
, que nous noterons
, vérifiant les trois propriétés
- les
sont tous non-vides :
- la réunion de tous les
tout entier :
- les
Exemples
1. L'ensemble des voyelles et l'ensemble des consonnes constituent une partition de l'ensemble des lettres.
2. L'ensemble des classes de mon Lycée est une partition du Lycée. En effet, chaque classe est non-vide (sinon elle serait supprimée), la réunion des classes constitue le Lycée, et deux classes distinctes n'ont aucun élève en commun.
[modifier ( modifier-400-section-17.cours)]Classes d'équivalence
Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence
(ce qui veut dire que
est définie sur
).
Soit . La classe d'équivalence de
, notée
est l'ensemble des éléments de
équivalents à
, c'est-à-dire en relation avec
:
[modifier ( modifier-400-section-18.cours)]Propriétés des classes (d'équivalence) selon une relation d'équivalence R
1. Elles sont non-vides : en effet, donc
(on parle toujours de la classe d'un certain élément
donné ; cette classe contient au moins
lui-même, donc est non-vide)
2. Deux classes distinctes sont disjointes :
Supposons ; ce sont deux ensembles différents (non égaux !) donc au moins un élément de l'un n'est pas élément de l'autre. Soit donc
.
Ces deux classes peuvent-elles avoir un élément en commun ?
Soit . On a
Or
; donc
et comme
, on voit que nécessairement
, c'est-à-dire que
, ce qui constitue une contradiction avec l'hypothèse.
Donc et
n'ont aucun élément en commun :
3. La réunion de toutes les classes remplit totalement :
(on a utilisé le fait que chaque classe contient au moins l'élément
)
4. En conclusion, les classes d'une relation d'équivalence sur constituent une partition de
[modifier ( modifier-400-section-19.cours)]Ensemble quotient selon une relation d'équivalence
Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence
.
L'ensemble des classes selon la relation d'équivalence est appelé ''ensemble quotient de
par la relation
" et noté
.
Exemples
- Pour l'égalité, les classes d'équivalence sont les singletons :
et l'ensemble-quotient est l'ensemble des singletons de
- Pour le parallélisme, défini sur l'ensemble des droites, les classes d'équivalence sont les directions de droite. L'ensemble-quotient est l'ensemble des directions de droite.
- Pour la relation dans
, l'espace-quotient est un ensemble à 3 éléments :
, avec
avec
[modifier ( modifier-400-section-20.cours)]Loi quotient d'une loi de composition interne par une relation d'équivalence
Exemples
1) Sur on a défini une loi de composition interne (ou "opération"), l'addition, qui n'est autre que l'application (fonction, si l'on veut)
Nous avons défini plus haut à titre d'exemple la relation d'équivalence , qui définit l'ensemble quotient
.
on peut définir sur cet ensemble quotient une "addition quotient" que nous noterons aussi "+", définie par
Exemple
ce qui s'écrit
On peut dresser la table d'addition de l'ensemble quotient :
| + | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
(il manque les points au-dessus de 0, 1, 2)
2) Sur on a également une loi de composition interne appelée multiplication.
Elle induit une loi sur qui est la multiplication quotient, dont la table est (encore une fois, il manque les points au-dessus de 0,1,2) :
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |
Remarque Nous n'en discuterons pas ici, mais pour définir une loi quotient comme nous venons de le faire à deux reprises, il faut s'assurer que la loi de composition interne sur est bien compatible avec la relation d'équivalence :
Ainsi, nous savons que
Alors, on doit avoir
soit
ce qui est vrai, parce que les deux classes ne sont autres que
.
Voyons également si :
cela donne
et c'est vrai parce que les deux classes ne sont autres que
.
Evidemment, il ne s'agit pas de vérifier sur quelques exemples, mais de démontrer cette compatibilité pour toutes les classes de l'ensemble quotient (ce que nous ne ferons pas ici).
[modifier ( modifier-400-section-21.cours)]Applications
[modifier ( modifier-400-section-22.cours)]Définitions
Soient deux ensembles et
. Une application
de
vers
est une relation de
vers
telle que tout élément de
corresponde à un et un seul élément de
.
On note une application
et pour tout
,
en appelant l'élément unique de
correspondant à l'élément
de
.
On dira que est l' image de
, et que
est un antécédent de
.
étant une partie (sous-ensemble) de
, on définit
(image de
) comme ensemble des
, où
:
étant une partie de
, on définit
(image réciproque de
) comme l'ensemble des antécédents des éléments de
:
étant un élément de
, on définit en général
comme l'ensemble des antécédents de
:
Attention : dans le cas (que nous allons voir) où est une bijection, nous définirons exceptionnellement
comme un élément de
, et non comme un ensemble d'éléments de
: ce sera le seul
dont l'image est
.
[modifier ( modifier-400-section-23.cours)]Propriétés des applications
[modifier ( modifier-400-section-24.cours)]Images d'ensembles
Pour tous sous-ensembles de
, et
application de
vers
, on a :
1.
2.
Preuves
1) Soit : il existe par hypothèse un
tel que
Mais alors,
On peut écrire donc
ce qui signifie
ou
2) Soit : il existe par hypothèse un
tel que
On peut donc dire à la fois
et
Donc
ce qui signifie que
Par contre, la réciproque : est fausse ; en effet :
et
et rien ne prouve qu'il existe un
Exemple (important)
Considérons la fonction , et deux intervalles réels
On a
donc
tandis que et donc
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, mais l'ensemble non vide n'est pas inclus dans l'ensemble vide ; on a donc
mais l'implication réciproque est fausse.
[modifier ( modifier-400-section-25.cours)]Images réciproques d'ensembles
Pour tous sous-ensembles de
, et
application de
vers
, on a:
1.
2.
Preuves
1) Soit ; par définition,
ce qui veut dire
ou encore
c'est-à-dire
2) Soit ; par définition
ce qui signifie
ou encore
c'est-à-dire
Il n'est peut-être pas inutile de retenir que si les quatre propriétés générales se ressemblent, on a pour seule exception la deuxième :
[modifier ( modifier-400-section-26.cours)]Image réciproque d'une image ; image d'une image réciproque
Pour et
application de
vers
, on a :
(lire : contient
)
et
Pour et
application de
vers
, on a :
Preuve
1) Soit ; alors
et donc,
.
Donc
La réciproque est fausse en général (voir exemples).
2) Soit ; il est clair que
Mais si alors
Or étant une application, à
fait correspondre une image et une seule, donc
et donc
.
On a donc démontré que
La réciproque est fausse en général (voir exemples).
[modifier ( modifier-400-section-27.cours)]Applications particulières
[modifier ( modifier-400-section-28.cours)]Injections
Une injection de dans
est une application
telle que tout élément de
ait au plus un antécédent ; autrement dit :
ou en contraposant l'implication :
On dit aussi que l'application est injective.
Exemples et contre-exemples
1) est injective
En effet,
2) est injective
En effet, (se rappeler de l'identité
)
et ne peut s'annuler que si
simultanément, donc si
.
Autrement dit, (donc en particulier,
)
3) n'est pas une injection de
sur
, ou sur
, car
pour tout
.
On le voit aussi en se disant que 0 a une infinité d'antécédents :
[modifier ( modifier-400-section-29.cours)]Propriété importante
Si ,
étant des ensembles finis, alors
C'est pourquoi on dit que est une injection de
dans
.
Preuve :
A deux éléments différents de correspondent deux images distinctes dans
.
Si contient
éléments, ceux-ci auront donc
images distinctes dans
, qui contient donc au moins
éléments.
[modifier ( modifier-400-section-30.cours)]Surjections
Une application est une surjection si tout élément de
a au moins un antécédent dans
.
On dit aussi que est surjective.
On dit également que applique
sur
.
Si est surjective, alors
(ce qui veut dire que tout élément de est l'image d'un élément (au moins) de
)
Exemples
1) est une surjection de
sur
2) est surjective, car tout
a un antécédent
tel que
(et même deux :
)
[modifier ( modifier-400-section-31.cours)]Propriété importante
Si est surjective, et si
et
sont finis, alors
.
En effet, un élément de ne peut avoir qu'une et une seule image dans
.
S'il y a éléments dans
, il ne peut y avoir plus de
éléments dans
, puisque, par définition des surjections, tous les éléments de
sont des images d'éléments de
.
Donc il ne peut y avoir plus d'éléments dans que dans
.
[modifier ( modifier-400-section-32.cours)]Bijections
Une application est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.
On dit aussi que est bijective.
Autrement dit, tout élément admet un et un seul antécédent dans
.
Exemples
est une bijection.
est une bijection.
est une bijection.
est une bijection.
[modifier ( modifier-400-section-33.cours)]Propriété importante
Si est une bijection,
des ensembles finis, alors
C'est une évidence, puisque est injective et surjective.
[modifier ( modifier-400-section-34.cours)]Bijections réciproques
Si est une bijection, alors à chaque élément de
, on peut faire correspondre un et un seul élément de
, son seul et unique antécédent par
.
Cette relation est également une bijection, de vers
, notée
et appelée bijection réciproque de
. Elle est évidemment définie par
Elle est de même sens de variation que : si
, par exemple, alors
et cette implication peut s'écrire sous forme contraposée :
, soit en posant
,
, ce qui signifie que
également.
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives d'une bijection et de sa réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation
En effet, , et la symétrie
se définit par
; exemples :
Exemples
est une bijection dont la réciproque est
En effet, si l'on se limite aux nombres positifs ou nuls, on peut écrire
(
est le carré de
,
est la racine carrée de
)
est une bijection de réciproque :
est une bijection dont la réciproque est appelée "fonction arc sinus" :
, définie par
(avec
et, bien sûr,
)
[modifier ( modifier-400-section-35.cours)]Fonctions
Une fonction est une relation faisant correspondre à certains éléments de
un et un seul élément de
On note également, pour un élément qui correspond à un élément de
,
, et on dira aussi que
est l'image de
, et que
est un antécédent de
.
On appelle ensemble de définition ou domaine de définition de l'ensemble des
qui ont une image dans
, et on le note
:
En fait, une fonction de vers
n'est autre qu'une application de
vers
.
Cette précision faite, toutes les propriétés mises en évidence pour les applications sont valables et utilisables pour les fonctions.