Lois de composition interne, Groupes

Dernière version du 18.05.2008 00h23

Sommaire

1 Définitions
1.1 Lois de composition interne sur un ensemble
1.2 Propriétés des lois de composition interne
1.2.1 Associativité
1.2.2 Existence d'un élément neutre
1.2.3 Existence d'un symétrique pour un élément
1.2.4 Commutativité
2 Structure de groupe
2.1 Propriétés générales des groupes
2.1.1 Régularité
2.1.2 Unicité de l'élément neutre
2.1.3 Unicité du symétrique d'un élément
2.1.4 Equations élémentaires
2.1.5 Symétrique du composé de deux éléments

Avertissement : il est conseillé de lire d'abord "Logique", "Ensembles" et "Relations" avant d'aborder les notions qui suivent

[modifier ( modifier-401-section-1.cours)]Définitions

[modifier ( modifier-401-section-2.cours)]Lois de composition interne sur un ensemble

Tout le monde connaît les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division.
Seule la première et la troisième, à tout couple d'entiers naturels, font correspondre un et un seul entier :
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
Autrement, l'addition et la multiplication sont des applications de $Formule mathématique$ vers $Formule mathématique$
On posera :
Soit un ensemble $Formule mathématique$ . On appelle loi de composition sur $Formule mathématique$ toute application $Formule mathématique$ , et l'on notera ceci à l'aide d'un symbole comme * : $Formule mathématique$
On parlera de la loi * et non pas de la loi $Formule mathématique$ .

[modifier ( modifier-401-section-3.cours)]Propriétés des lois de composition interne

[modifier ( modifier-401-section-4.cours)]Associativité

Une loi * sur $Formule mathématique$ sera dite associative si pour tous $Formule mathématique$ , on a
$Formule mathématique$
On notera alors cet élément $Formule mathématique$ .
Exemples
1. L'addition et la multiplication usuelles sont associatives :
$Formule mathématique$ noté $Formule mathématique$ ,
$Formule mathématique$ noté $Formule mathématique$ .
2. Définissons dans $Formule mathématique$ la loi * telle que
$Formule mathématique$
Elle est associative, car
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ également.
3. La réunion et l'intersection, définies sur $Formule mathématique$ , ensemble des parties de $Formule mathématique$ , sont associatives :
$Formule mathématique$ , noté $Formule mathématique$
$Formule mathématique$ , noté $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-5.cours)]Existence d'un élément neutre

On dit que la loi * sur $Formule mathématique$ admet un élément neutre $Formule mathématique$ s'il existe $Formule mathématique$ tel que
$Formule mathématique$
Exemples
1) Pour l'addition usuelle, l'élément neutre est 0 :
$Formule mathématique$
2) Pour la multiplication usuelle, l'élément neutre est 1 :
$Formule mathématique$
3) L'élément neutre de la loi * définie comme exemple plus haut est 0 :
$Formule mathématique$
4) L'élément neutre de la loi $Formule mathématique$ définie sur l'ensemble $Formule mathématique$ des parties de l'ensemble $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
5) L'élément neutre de la loi $Formule mathématique$ définie sur $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-6.cours)]Existence d'un symétrique pour un élément

Soit $Formule mathématique$ , * une loi définie sur $Formule mathématique$ , admettant un élément neutre $Formule mathématique$ .
On dira que $Formule mathématique$ admet un symétrique, ou que c'est un élément inversible, s'il existe un élément $Formule mathématique$ tel que
$Formule mathématique$
Exemples
1) Dans les nombres réels, le symétrique d'un nombre est son opposé :
$Formule mathématique$
2) Dans l'ensemble $Formule mathématique$ des réels non nuls, le symétrique d'un nombre est son inverse, noté $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
3) Dans $Formule mathématique$ muni de la loi * vue plus haut, cherchons le symétrique $Formule mathématique$ d'un nombre $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
On peut dire que tout $Formule mathématique$ admet un symétrique pour cette loi.
Ce symétrique ne vaut pas -1 non plus, fort heureusement :
$Formule mathématique$ , ce qui est impossible avec un réel $Formule mathématique$ .
4) Dans l'ensemble des matrices $Formule mathématique$ , de déterminant non nul : $Formule mathématique$ , muni de la multiplication dite "produit LICO" (ligne $Formule mathématique$ colonne) :
$Formule mathématique$ (on multiplie "scalairement" les lignes de la matrice de gauche par les colonnes de la matrices de droite)
l'élément neutre est la matrice unité
$Formule mathématique$
et l'inverse de
$Formule mathématique$
est
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-7.cours)]Commutativité

Soit * une loi définie sur $Formule mathématique$ . On dit qu'elle est commutative si pour tout $Formule mathématique$ , on a $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$

Attention, la multiplication des matrices n'est pas commutative en général : Il existe des matrices $Formule mathématique$ telles que
$Formule mathématique$
La composée de deux transformations géométriques n'est pas commutative en général :
Si $Formule mathématique$ est la translation de vecteur $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ est la rotation de centre $Formule mathématique$ et d'angle $Formule mathématique$ , alors
$Formule mathématique$
Deux rotations de même centre commutent :
$Formule mathématique$
Mais deux rotations de centres différents ne commutent pas :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-8.cours)]Structure de groupe

Soit $Formule mathématique$ un ensemble muni de la loi de composition interne * (on note l'ensemble muni de la loi $Formule mathématique$ ).
__On dit que $Formule mathématique$ est un groupe s'il a les trois propriétés :

* est associative :

$Formule mathématique$ (noté désormais $Formule mathématique$ )

* admet un élément neutre dans $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$

tout élément de $Formule mathématique$ admet un symétrique dans $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$
Exemples
1) $Formule mathématique$ est un groupe.
2) $Formule mathématique$ est un groupe.
3) Si $Formule mathématique$ est la relation définie par $Formule mathématique$ (on dit que $Formule mathématique$ est la congruence modulo $Formule mathématique$ ), alors $Formule mathématique$ est un groupe.
4) L'ensemble des rotations du plan de centre $Formule mathématique$ donné forme un groupe pour la loi de composition $Formule mathématique$ (composition de fonctions), en effet, pour des rotations $Formule mathématique$ , on a

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ (avec $Formule mathématique$ = l'identité du plan = rotation de centre $Formule mathématique$ et d'angle 0)
$Formule mathématique$ (avec $Formule mathématique$ = rotation d'angle opposé à celui de $Formule mathématique$ )

5) L'ensemble $Formule mathématique$ des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication : en effet,

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-9.cours)]Propriétés générales des groupes

[modifier ( modifier-401-section-10.cours)]Régularité

Dans un groupe, la loi * est régulière à gauche et à droite, ce qui veut dire que tout élément est simplifiable à gauche et à droite, c'est-à-dire respectivement :
$Formule mathématique$ (régularité à gauche)
$Formule mathématique$ (régularité à droite)
Preuve
Supposons que $Formule mathématique$ ; cela veut dire que $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont un seul et même objet. On peut alors écrire, puisque tout élément d'un groupe admet un symétrique :
$Formule mathématique$
et comme la loi * est associative :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ou tout simplement
$Formule mathématique$ .
On prouve la régularité à droite de la même façon.

[modifier ( modifier-401-section-11.cours)]Unicité de l'élément neutre

Jusqu'ici, nous avons parlé de l'existence de l'élément neutre dans un groupe, mais n'avons pas montré qu'il était unique.
Supposons (preuve par l'absurde !) qu'il y en ait deux, $Formule mathématique$
Alors on pourrait écrire
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
Comme la loi est régulière, cela implique $Formule mathématique$ , et il y a contradiction si l'on a supposé qu'il existait deux éléments neutres ( $Formule mathématique$ ). L'élément neutre de la loi * est donc unique.

[modifier ( modifier-401-section-12.cours)]Unicité du symétrique d'un élément

Supposons que l'élément $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ ait deux symétriques distincts $Formule mathématique$ .
Alors $Formule mathématique$ ce qui implique par régularité $Formule mathématique$ d'où contradiction.
Il ne peut donc y avoir deux symétriques du même élément. Le symétrique d'un élément est unique.

[modifier ( modifier-401-section-13.cours)]Equations élémentaires

1) Cherchons à résoudre l'équation en $Formule mathématique$ : $Formule mathématique$ .
Composons à gauche par $Formule mathématique$ (grâce à l'associativité, nous pouvons faire l'économie des parenthèses) :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
2) Résolvons de même l'équation $Formule mathématique$ :
Composons à droite par $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$ .
On retiendra :
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-401-section-14.cours)]Symétrique du composé de deux éléments

Le symétrique de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ .
En effet, cherchons $Formule mathématique$ symétrique de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$
ceci entraîne
$Formule mathématique$ , ou $Formule mathématique$
On vérifie qu'on a également $Formule mathématique$

Dernière mise à jour: le 18.05.2008 à 01:23
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