Calcul matriciel (très) élémentaire

[modifier ( modifier-405-section-2.cours)]Matrices

Considérons par exemple un système d'équations de forme

Il est pratique de séparer les inconnues et les coefficients constants en écrivant ceci astucieusement :

Le tableau est appelé matrice carrée d'ordre 2; les tableaux sont appelés matrices colonnes (à deux lignes)
La multiplication de la matrice carrée par la matrice colonne est définie comme "produit LICO" : on multiplie "scalairement" une ligne de la matrice de gauche par une colonne de la matrice de droite.
Par exemple

Dans le second membre, résultat de la multiplication, l'élément du haut est le produit de la ligne du haut par la colonne qui constitue la 2e matrice ;
l'élément du bas est le produit de la ligne du bas par la colonne qui constitue la 2e matrice.
et

Dans le second membre, l'élément du haut à gauche est le produit de la ligne du haut par la colonne de gauche ;
l'élément du haut à droite est le produit de la ligne du haut par la colonne de droite ;
l'élément du bas à gauche est le produit de la ligne du bas par la colonne de gauche ;
l'élément du bas à droite est le produit de la ligne du bas par la colonne de droite.
Au début, cela demande un peu d'attention et d'entraînement, mais on s'y fait assez vite.

On définit en général une matrice avec un nombre quelconque de lignes et de colonnes :

Les coefficients de la matrice sont appelés éléments de matrice.
est l'élément se trouvant à la ligne et à la colonne. On dit que est l'indice de ligne, et est l'indice de colonne.
Les éléments constituent la première ligne de la matrice ;
Les éléments constituent la première colonne de la matrice, etc.
On notera parfois une matrice par son terme générique entre parenthèses :

[modifier ( modifier-405-section-3.cours)]Opérations sur les matrices

[modifier ( modifier-405-section-7.cours)]Addition des matrices de dimension donnée

1) L'addition est associative : pour toutes matrices de même dimension,
, ce qu'on notera

2) L'addition admet un élément neutre, la matrice nulle :

3) Toute matrice a un symétrique pour l'addition, appelé opposé de la matrice :

4) L'addition des matrices est commutative ; pour toutes matrices de même dimension, ,

Ces quatre propriétés confèrent à l'ensemble des matrices de dimension donnée la qualité de groupe commutatif(au lieu de dire qu'on a l'associativité, l'élément neutre, les éléments symétriques et la commutativité, on résume l'ensemble sous cette appellation).

[modifier ( modifier-405-section-8.cours)]Multiplication par un réel

1) Il y a "pseudo-associativité" entre la multiplication par un réel et la multiplication de deux réels, dans le sens que, si , et si est une matrice quelconque :

2) La multiplication par un réel est distributive sur l'addition des matrices :

3) La multiplication par un réel est distributive sur l'addition des réels :

4) L'unité des réels vérifie

[modifier ( modifier-405-section-9.cours)]Multiplication des matrices carrées de dimension donnée

1) La multiplication des matrices est associative :
(noté )

2) Elle admet un élément neutre, la matrice identité

qu'on note également
 :
Cette matrice identité vérifie, pour toute matrice de même dimension :

3) On admettra que,si un certain nombre réel fonction de la matrice appelé déterminant de cette matrice, est non nul, alors la matrice admet un symétrique pour la multiplication matricielle, appelé inverse de la matrice :

Exemple : soit
une matrice. On définit son déterminant par
.
Si , alors est inversible et

4) La multiplication matricielle est distributive par rapport à l'addition des matrices :
(aisé à vérifier)

5) Il y a pseudo-associativité de la multiplication matricielle et de la multiplication des réels :

[modifier ( modifier-405-section-11.cours)]Inversion de matrices carrées d'ordre 2

Il existe une formule facile à retenir :
Soit
Si le déterminant de cette matrice n'est pas nul :

Alors

[modifier ( modifier-405-section-12.cours)]Complément : Inversion des matrices carrées d'ordre 3

Définissons le déterminant d'une matrice


(les 6 termes sont définis par la règle de Sarrus, qui dit que le déterminant est la somme des produits "descendants" affectés du signe (+) et des produits "montants" affectés du signe (-) :
on le voit mieux en recopiant deux colonnes supplémentaires comme suit :

Si , alors la matrice est inversible, et se calcule ainsi :
1) On remplace chaque élément de matrice de par le déterminant d'ordre 2 obtenu en supprimant sa ligne et sa colonne, affecté du signe , c'est-à-dire du signe défini par le tableau

2) On transpose la matrice obtenue et on la multiplie par

Exemple
Reprenons, pour plus de commodité, l'exemple précédent.

Calculons le déterminant :

Première étape :

Deuxième et dernière étape :