Dernière version du 31.05.2008 17h19
Sommaire
1 Prérequis
2 Suites numériques réelles
2.1 Définitions d'une suite réelle
3 Variation d'une suite réelle
3.1 Cas des suites strictement positives
4 Suites convergentes
5 Suites majorées, minorées, bornées
5.1 Théorème (admis)
[modifier (
modifier-406-section-1.cours)]Prérequis
Avant d'aborder ce cours, vous devrez avoir lu la partie 6 sur les quantificateurs du cours Logique élémentaire (binaire, naïve) ( /371-logique-lmentaire-binaire-nave.cours).
[modifier ( modifier-406-section-2.cours)]Suites numériques réelles
On appelle suite numérique réelle une fonction réelle définie sur .
Au lieu de la noter , il convient d'écrire
(indice
, à écrire nettement en-dessous de la ligne !).
On note une suite , ou
, ou encore, si l'on veut préciser,
Bien sûr, une suite peut être définie seulement à partir de , ou
, on notera alors cette suite
, ou
(du moins si l'on tient à préciser le domaine de définition). En général :
est le premier terme de la suite, ou terme de rang 0,
est le deuxième terme de la suite, ou terme de rang 1,
- (...)
est le
terme de la suite, ou terme de rang
.
[modifier ( modifier-406-section-3.cours)]Définitions d'une suite réelle
Il y a plusieurs moyens de définir une suite :
- donner l'expression du terme de rang
Exemples :(pour
)
- donner le premier terme et un moyen de calculer un terme connaissant le terme précédent. Par exemple :
(suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2)
(suite géométrique de premier terme 1000 et dont chaque terme s'obtient en augmentant de 5% le terme précédent, ce qui revient à dire qu'il vaut 1,05 fois le terme précédent)
- donner plusieurs premiers termes et un moyen de calculer un terme connaissant quelques termes précédents. Exemple : la suite de Fibonacci, définie par
[modifier ( modifier-406-section-4.cours)]Variation d'une suite réelle
On connaît la définition du sens de variation d'une fonction :
On dit que sur un intervalle
si
Ici, les arguments sont tous des nombres entiers, et bien sûr, ;
Nous dirons donc qu'une suite est croissante si
Il est plus commode de formuler ceci ainsi :
De même, si
et une suite est strictement croissante si
...et strictement décroissante si
Exemples
1) La suite telle que
est définie explicitement par
, de dérivée
; cette dérivée est négative si
et positive ensuite, nous sommes donc certains que
est décroissante pour
et croissante au point
.
Il y a une petite imprécision de cette méthode pour le passage de à
:
Calculons les premiers termes :
La suite décroît jusqu'à et croît ensuite pour toutes les valeurs supérieures à 3 du rang
.
Autre moyen
Cette différence est positive si est supérieure à 2, soit pour
.
Cela veut dire précisément que
Autrement dit, on est sûr que
Cette même différence est négative si , donc si
.
Ce qui veut dire précisément :
Autrement dit, on sait que .
2) La suite telle que
Pour voir son sens de variation, regardons, au moins pour raisonner sur son signe, la différence
, dont nous comparerons le signe à celui de
:
Calculons
Par construction, tous les termes sont positifs ; il en est donc ainsi du dénominateur du quotient que nous venons de calculer.
On voit que le signe de cette différence change à chaque fois que le rang augmente d'une unité : nous nous trouvons en présence d'une suite à variation alternée :
[modifier ( modifier-406-section-5.cours)]Cas des suites strictement positives
Si , alors
On pensera à l'équivalence, pour une suite strictement positive :
et
ainsi que
Exemple
La suite telle que
a tous ses termes strictement positifs.
[Complément : si , on définit
, ainsi
]
On pose également ; ce qui permet d'avoir toujours l'égalité
Regardons le rapport
Comme ce sont d'abord les grandes valeurs du rang qui nous intéresse, remarquons d'abord que
équivaut à
On a donc
Jetons quand même un coup d'oeil sur les premières valeurs, pour nous rendre compte :
[modifier ( modifier-406-section-6.cours)]Suites convergentes
On dira qu'une suite est convergente s'il existe un réel
tel que
est aussi proche de
que l'on veut, dès que
est assez grand :
Cette définition a l'air mystérieuse, mais elle signifie simplement une chose : que est aussi proche de
que je veux (leur distance étant inférieure à un nombre positif
aussi petit que je veux) si
est assez grand.
Dans la pratique, on remplacera ce protocole logique mais lourd par :
"tend vers"
lorsque
"tend vers" l'infini.
Exemple :
Il est clair que admet pour limite
, car
(on a appliqué la règle qui énonce que la limite d'un polynôme à l'infini, c'est la limite de son terme de plus haut degré)
Il est souvent possible de savoir une ou plusieurs valeurs possibles de la limite d'une suite, en supposant qu'elle converge.
Exemple :
Soit la suite telle que
(1)
Si elle tendait vers une limite , alors si
tend vers l'infini,
tendraient tous deux vers
, et l'on aurait (en partant de la formule de récurrence (1))
, soit
Cette équation du second degré admet deux solutions (ou racines) réelles distinctes :
On remarque que . Il reste
qui est positive.
Si la suite admet une limite, ce ne peut être que
Et de fait,
[modifier ( modifier-406-section-7.cours)]Suites majorées, minorées, bornées
On dit que est majorée s'il existe
tel que
On dit que est minorée s'il existe
tel que
On dit qu'une suite est bornée si elle est minorée et majorée :
[modifier ( modifier-406-section-8.cours)]Théorème (admis)
Si une suite est croissante et majorée, elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée, elle converge.
Ce théorème est assez intuitif, mais sa preuve dépasse le niveau du Secondaire.
Disons que si une suite est croissante mais ne peut dépasser une certaine valeur , en continuant de croître, elle ne peut que s'approcher indéfiniment d'un nombre inférieur ou égal à
.
Exemple
La suite définie par .
Regardons quelques premières valeurs :
Elle commence comme une suite décroissante...
- Elle est bien décroissante, parce que
Donc pour tout ,
est du même signe que
, et donc,
.
- Elle est minorée, puisque positive par construction :
D'après le théorème, étant décroissante et minorée, elle converge.
Sa limite satisfait à l'équation (obtenue en remplaçant dans la formule de récurrence, ) :
ce qui équivaut à
Cette équation admet les deux solutions :
La limite de est donc
, nombre traditionnellement appelé nombre d'or.
D'ailleurs, on voit facilement que