Calcul intégral

[modifier ( modifier-407-section-3.cours)]Intégrale d'une fonction positive et aire d'une surface

Au lieu de la fonction prise en exemple, n'importe quelle fonction continue ferait l'affaire :
Soit une fonction positive continue sur un intervalle contenant .
Définissons comme l'aire de la portion de plan limitée par

• la courbe
• l'axe
• les droites d'équations et

En particulier, est continue au point , ce qui veut dire

ou, ce qui revient au même

Ceci signifie très exactement que est aussi proche de qu'on veut, pourvu que soit assez petit (dans le sens de "assez proche de 0"))
On pourra écrire : aussi petit que soit le nombre positif ,
si est suffisamment petit.
Attention, cela veut dire que pour tout l'intervalle , la fonction ne sort pas de l'intervalle de valeurs
On rappelle que
Prenons donc assez petit pour réaliser cette inégalité, et alors

soit

En faisant tendre vers 0, donc également , on obtient

Autrement dit, est dérivable, c'est une primitive de
On trouve de même, pour primitive quelconque de  :

ce qui veut dire

On retiendra :
Pour toute fonction positive et continue sur , , l'aire comprise entre les droites d'équations est

Exemples
La courbe d'équation représente une fonction positive sur .
L'aire comprise entre cette courbe et l'axe des abscisses (et, mais comme la fonction s'annule aux extrémités de l'intervalle, c'est inutile de les mentionner : les droites d'équations ) est

[modifier ( modifier-407-section-4.cours)]Intégrale d'une fonction de signe quelconque

On définira, pour une fonction continue pas forcément positive sur , son intégrale de la même façon :

[modifier ( modifier-407-section-7.cours)]Positivité

Soit une fonction positive (ou nulle) sur (sous-entendu : ). Alors

Preuve
L'intégrale vaut . Or , donc , et , d'où l'intégrale est positive.

[modifier ( modifier-407-section-8.cours)]Principe de comparaison des intégrales

Soient deux fonctions telles que sur . Alors

Preuve
La fonction est positive, d'où son intégrale est positive. Or on vérifie aisément que

[modifier ( modifier-407-section-10.cours)]Relation de Chasles pour l'intégrale

Preuve
évidente :
La relation s'écrit également

[modifier ( modifier-407-section-12.cours)]Linéarité de l'intégrale

La linéarité de l'intégrale consiste en les deux égalités :
1)

2)
Elles peuvent se condenser de façon évidente en une seule :

Preuves
1)

2)

[modifier ( modifier-407-section-13.cours)]Inégalités de la moyenne

[modifier ( modifier-407-section-17.cours)]Intégration par parties

On sait que .
Ceci peut s'écrire , et si l'on intègre (calcule une intégrale) l(d)es deux membres :

Cette formule s'appelle formule de l'intégration par parties.
Elle peut faciliter considérablement le calcul de nombreuses intégrales.

Exemples
1) Comment intégrer la fonction logarithme népérien ?
Par une très simple astuce :
En choisissant d'écrire

l'intégrale à calculer, et en posant
On trouve aisément

On retiendra :
Primitive de  :

2) Calculer

Il est clair que, si les primitives d'une fonction exponentielles sont à un facteur constant près la même fonction, on peut abaisser le degré du polynôme en le dérivant.
On posera donc .
L'intégration par parties donne

3) Pour les calculs du genre
, il faudrait 2 intégrations par parties successives, pour réduire le trinôme à puis à . Cette méthode est trop fastidieuse, même si elle est faisable. Ce sera encore plus le cas si le trinôme devenait un polynôme de degré supérieur à 2 !
On peut calculer
, on aurait à faire deux intégrations par parties successives bien choisies, mais cela reste fastidieux.
Pour ce genre de calcul, nous proposons à présent une autre méthode.

[modifier ( modifier-407-section-18.cours)]Intégration dans les cas où l'on peut deviner la forme d'une primitive

Reprenons les exemples 3) et 4) précédents.

1) Voyons l'intégrale

Il est clair que

Il est donc évident que la primitive cherchée est de forme

Sa dérivée est

Identifions cette dernière avec la fonction à intégrer :

d'où
Ainsi,

2) Et à présent,

On peut deviner sans trop de difficulté qu'une primitive cherchée est de forme

En effet,

Il ne reste plus qu'à identifier cette dérivée avec notre fonction à intégrer, ce qui donne :

d'où

Autrement dit

[modifier ( modifier-407-section-19.cours)]Changement de variable

Nous allons juste faire une expérience, une découverte (ce n'est pas du raisonnement mathématique, mais de l'heuristique).
L'idée est que la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport avec .
Symboliquement, on écrit , ce qui a une certaine signification exacte (rapport de différentielles), mais que nous considérons provisoirement (et sans rigueur absolue) comme un rapport d'infiniment petits.
Ce qui nous permet d'écrire (au moins formellement) .
Si , alors on peut écrire
et l'intégrale

pourra s'écrire
, sous quelques conditions de cohérence, avec (puisque )

Exemples
1) Calculons

Pour ce faire, posons  ; alors
On sait que lorsque varie de -1 à 1, varie de à .
Alors

Or pour
d'où

(on vient de calculer l'aire d'un demi-disque de rayon unité, puisque est l'équation du demi-cercle de centre O, de rayon 1 et situé dans le demi-plan  ! Ce qui revient à démontrer que l'aire d'un disque de rayon est )

[modifier ( modifier-407-section-20.cours)]Passage au domaine complexe

L'intégration d'une fonction de variable complexe est un problème totalement nouveau et dépassant de très loin le niveau du présent exposé. Mais l'on peut envisager sans aucun problème une fonction complexe de variable réelle :
. Cela revient à envisager séparément deux fonctions réelles de variable réelle, , parties réelle et imaginaire d'une telle fonction complexe.

Donnons juste un exemple.
On veut calculer

Or

On peut démontrer (mais nous nous contenterons de constater que "ça marche" !) que l'on peut intégrer formellement cette exponentielle :


On trouve assez aisément la partie imaginaire :