Dernière version du 01.06.2008 18h57
Sommaire
1 Termes de Logique
2 Négation
2.1 Quantificateurs
2.2 Connecteurs "et", "ou"
2.3 Implications
2.4 Equivalence logique
2.5 Contraposée d'une implication
3 Vocabulaire des ensembles
3.1 Ensembles et éléments
3.2 Parties d'un ensemble, inclusion
3.3 Réunion et intersection
3.4 Complémentaire dans un ensemble ; différence d'ensembles
[modifier (
modifier-408-section-1.cours)]Termes de Logique
[modifier ( modifier-408-section-2.cours)]Négation
On peut nier une affirmation (ou propriété, ou proposition, ou assertion).
On notera parfois une négation de
.
Si une affirmation est vraie, toute négation
est fausse.
Si est fausse,
est vraie.
Exemple
Une négation de est
(en effet, pour nier "x<1", on dit "x n'est pas plus petit que 1", donc x est plus grand ou égal à 1)
[modifier ( modifier-408-section-3.cours)]Quantificateurs
(taper : \forall) se lit "pour tout...", "pour tous les...".
Exemple
se lit : "pour tout
réel,
est positif ou nul"
ce qui revient à "tout nombre réel a son carré positif ou nul".
(taper : \exists) se lit : "il existe..." ou "il existe au moins un..."
Exemple
se lit : "il existe (au moins un)
réel, dont le carré vaut
".
(c'est vrai, il en existe même deux : )
- Lorsqu'on écrit une négation d'une propriété,
Exemples
Négation de "tout homme est fort" : "il existe au moins un homme qui n'est pas fort", ou
Négation de "il existe une montagne de 12 000 m d'altitude" : "toutes les montagnes ont une altitude différente de 12 000 mètres", ou
[modifier ( modifier-408-section-4.cours)]Connecteurs "et", "ou"
Attention, est une affirmation qui est vraie si au moins l'une des deux affirmations
est vraie.
Exemple
signifie
est une affirmation qui est vraie si toutes les deux affirmations
sont vraies.
Exemple
signifie
, soit
.
Attention : lorsqu'on exprime une négation, les connecteurs se transforment l'un en l'autre :
Exemple
Négation de "achète-moi du pain ou des croissants" : "n'achète ni pain ni croissants"
soit
signifie
[modifier ( modifier-408-section-5.cours)]Implications
Une implication ( ; taper : \Rightarrow avec majuscule) telle que
signifie : "Si
est vraie, alors
est vraie ; sous-entendu : si
n'est pas vraie, je n'ai rien dit !"
On peut donc écrire (puisque
)
et aussi
(puisque 2=3 est faux, la deuxième affirmation peut être vraie ou fausse. Ce n'est que si la première est vraie que la deuxième est obligatoirement vraie)
[modifier ( modifier-408-section-6.cours)]Equivalence logique
On dit que si l'on a à la fois
et
.
(taper : \Leftrightarrow)
Cela revient à dire que
si
et
ont la même valeur de vérité (toutes deux vraies, ou toutes deux fausses)
On écrira par exemple
[modifier ( modifier-408-section-7.cours)]Contraposée d'une implication
On a l'importante équivalence suivante :
(en fait, tout ceci se ramène à 1 < 4)
Nous avons mis en évidence l'équivalence :
On dit que la 2e implication est la contraposée de la première.
Exemple
équivaut à
[modifier ( modifier-408-section-8.cours)]Vocabulaire des ensembles
[modifier ( modifier-408-section-9.cours)]Ensembles et éléments
Un ensemble est une collection d'objets.
Ces objets sont les éléments de l'ensemble considéré.
On écrira
par exemple (24 est un élément de l'ensemble des entiers naturels, ou 24 appartient à l'ensemble des entiers naturels)
(taper : \in)
et
(
n'est pas un élément de l'ensemble des entiers naturels (ou : n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels) ; en bref,
n'est pas un entier naturel)
(taper : \notin)
On note les ensembles,
- soit par la liste de leurs éléments, s'ils sont en nombre fini et petit :
(ensemble des chiffres en système de numération décimale)
(taper\left{ et \right} au début et à la fin de la liste)
- soit par la liste incomplète mais sans ambiguïté de leurs éléments :
(ensemble des entiers naturels)
(ensemble des entiers rationnels, dits souvent "entiers relatifs")
- soit par la description de leurs éléments :
(ensemble des nombres rationnels, qui sont les quotients de deux entiers)
Remarque / se lit "tel que ".
[modifier ( modifier-408-section-10.cours)]Parties d'un ensemble, inclusion
On dit qu'un ensemble est une partie d'un ensemble
si tout élément de
est un élément de
.
On dit aussi que est inclus dans
, et l'on écrit
(taper : \subset)
Exemples
(l'ensemble des entiers naturels est une partie de l'ensemble des nombres rationnels)
(l'intervalle ouvert est inclus dans l'intervalle fermé)
(la droite
est incluse dans le plan
)
à ne pas confondre avec
(le point
appartient à la droite
et au plan
)
[modifier ( modifier-408-section-11.cours)]Réunion et intersection
Etant donnés deux ensembles , leur réunion
(lire :
union
; taper : \cup)
et leur intersection (lire :
inter
; taper : \cap)
Exemples :
[modifier ( modifier-408-section-12.cours)]Complémentaire dans un ensemble ; différence d'ensembles
- Si deux ensembles
sont tels que
, alors le complémentaire de
dans
est l'ensemble des éléments de
ou
(en omettant
, ou encore
(lire
Exemple
: le complémentaire dans de
est
; on peut écrire
, ou
- Soient deux ensembles quelconques
La différence d'ensembles (lire
moins
; taper : \setminus) est l'ensemble des éléments de
qui ne sont pas dans
Exemples
et
.
