Une notation très utile, facilitant le calcul vectoriel

Dernière version du 09.09.2008 00h46

Sommaire

1 Vecteurs et bases du plan
1.1 Notation pour les coordonnées d'un vecteur sur une base B
2 Avantages de cette notation pour les coordonnées d'un vecteur
2.1 Addition de vecteurs
2.2 Multiplication par un réel
2.3 Généralisons : combinaison linéaire de deux vecteurs
3 Quelques applications
3.1 Coordonnées de points dans un repère
3.2 Coordonnées du milieu d'un segment
3.3 Centre de gravité d'un triangle
3.4 Barycentre

[modifier ( modifier-409-section-1.cours)]Vecteurs et bases du plan

On rappelle que deux vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont dits colinéaires s'il existe un réel $Formule mathématique$ tel que $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$ .
Une base $Formule mathématique$ du plan est définie par deux vecteurs non colinéaires : $Formule mathématique$
Considérons une combinaison linéaire nulle de ces deux vecteurs, c'est-à-dire un vecteur de forme $Formule mathématique$ , avec $Formule mathématique$ .
Dire que l'on peut écrire $Formule mathématique$ revient à dire qu'au moins l'un des deux nombres $Formule mathématique$ est non nul :
$Formule mathématique$ par exemple.
Donc, dire que les deux vecteurs d'une base sont non colinéaires revient à dire $Formule mathématique$ .
Soit un troisième vecteur du plan, $Formule mathématique$ . Considérons toutes les combinaisons linéaires nulles possibles des trois vecteurs :
$Formule mathématique$
Si $Formule mathématique$ , alors il reste $Formule mathématique$ , ce qui implique $Formule mathématique$ (on a le cas évident de combinaison linéaire nulle $Formule mathématique$ )
Si $Formule mathématique$ , alors on peut écrire $Formule mathématique$ , que l'on posera sous la forme $Formule mathématique$ .
Montrons que $Formule mathématique$ sont uniques :
En effet, s'il existait $Formule mathématique$ différents, satisfaisant à $Formule mathématique$ , alors
$Formule mathématique$
ce qui implique $Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$ (contradiction avec l'hypothèse que $Formule mathématique$ ).
Ainsi, on peut définir de manière unique des coordonnées de tout vecteur sur une base donnée.

[modifier ( modifier-409-section-2.cours)]Notation pour les coordonnées d'un vecteur sur une base B

Soit un vecteur $Formule mathématique$ du plan, une base $Formule mathématique$ .
Nous avons vu que le vecteur a des coordonnées bien définies et uniques sur cette base :
$Formule mathématique$ .
Nous noterons cette égalité (en identifiant le vecteur et la "matrice" de ses coordonnées sur la base B, laquelle est sous-entendue)
$Formule mathématique$
Dans la plupart des manuels de mathématiques français actuels, on note ceci sans signe $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
Avec cette notation apparemment omniprésente, on ne peut calculer facilement des sommes de vecteurs, des multiplications de vecteurs par des réels ou des combinaisons linéaires de vecteurs.

[modifier ( modifier-409-section-3.cours)]Avantages de cette notation pour les coordonnées d'un vecteur

Soient deux vecteurs $Formule mathématique$ , qui sur la base $Formule mathématique$ , s'expriment par
$Formule mathématique$
On note donc ceci
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-4.cours)]Addition de vecteurs

La somme de ces vecteurs est
$Formule mathématique$
soit très simplement
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-5.cours)]Multiplication par un réel

Multiplions le vecteur défini précédemment par un réel $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
soit très simplement
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-6.cours)]Généralisons : combinaison linéaire de deux vecteurs

Regardons
$Formule mathématique$
Avec notre notation, nous pouvions obtenir ce même résultat avec la plus grande facilité, et sans risque d'erreurs :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-7.cours)]Quelques applications

[modifier ( modifier-409-section-8.cours)]Coordonnées de points dans un repère

On rappelle qu'un repère du plan est défini par une origine et une base de vecteurs : $Formule mathématique$ (donc avec $Formule mathématique$ non colinéaires)
On définit les coordonnées $Formule mathématique$ d'un point $Formule mathématique$ par l'égalité vectorielle
$Formule mathématique$
Autrement dit,
$Formule mathématique$
ce qui permet aussi d'écrire les coordonnées d'un vecteur $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
On retiendra donc :
$Formule mathématique$
(ne pas oublier : "2e - 1er" !)

[modifier ( modifier-409-section-9.cours)]Coordonnées du milieu d'un segment

Si $Formule mathématique$ , alors
$Formule mathématique$ , ou mieux $Formule mathématique$ , c'est-à-dire :
$Formule mathématique$ (écriture que nous prendrons pour définition en termes vectoriels de " $Formule mathématique$ = milieu de $Formule mathématique$ ")
Avec les coordonnées, ceci s'écrit
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
ce qui donne clairement
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-10.cours)]Centre de gravité d'un triangle

On peut définir le centre de gravité $Formule mathématique$ d'un triangle $Formule mathématique$ est
$Formule mathématique$
En termes de coordonnées de vecteurs, cela s'écrit
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$ (1)
ce qui nous donne facilement
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-409-section-11.cours)]Barycentre

On définit le barycentre $Formule mathématique$ des points $Formule mathématique$ affectés respectivement des coefficients $Formule mathématique$ avec $Formule mathématique$ par
$Formule mathématique$
En termes de coordonnées de vecteurs sur une base quelconque, cela s'écrit
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ce qui donne facilement
$Formule mathématique$

Dernière mise à jour: le 09.09.2008 à 01:46
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