Dernière version du 04.06.2008 19h50
Sommaire
1 I - Vecteurs colinéaires
1.1 Déterminant de deux vecteurs dans une base donnée
1.2 Théorème (''important !'')
1.3 Exemples
2 II - Vecteurs orthogonaux
2.1 Exemples
[modifier (
modifier-411-section-1.cours)]I - Vecteurs colinéaires
Rappelons la définition :
Deux vecteurs et
sont colinéaires s'il existe un réel
tel que
ou
Remarque importante
Le vecteur nul est donc colinéaire à tout vecteur , car
[modifier ( modifier-411-section-2.cours)]Déterminant de deux vecteurs dans une base donnée
On rappelle qu'une base du plan est définie par deux vecteurs non colinéaires, et
.
Tout vecteur du plan est défini par deux coordonnées sur cette base :
Nous noterons cela (en omettant volontairement la base utilisée) :
Soit un autre vecteur, défini par
On définit le déterminant des vecteurs et
(dans cet ordre) par
[modifier ( modifier-411-section-3.cours)]Théorème (important !)
Quelle que soit la base choisie, le déterminant de deux vecteurs est nul si et seulement si ils sont colinéaires :
Preuve
- Prouvons d'abord l'implication (
) :
Supposons que les deux vecteurs soient colinéaires. Par exemple , et
.
Alors
, soit
Mais alors
- Prouvons ensuite l'implication (
) :
Supposons que le déterminant des deux vecteurs soit nul, c'est-à-dire
Raisonnons par une alternative :
Soit , soit
.
Dans le premier cas, est colinéaire à
, et il n'y a plus à discuter.
Dans le second cas, au moins l'une des coordonnées de est non nulle, par exemple,
.
La nullité du déterminant s'écrit aussi , ou
, puisque
.
Mais alors, on peut écrire
et
Et comme, one more time, , cela s'écrit
ce qui dit bien que les deux vecteurs sont colinéaires. La démonstration est terminée.
[modifier ( modifier-411-section-4.cours)]Exemples
- Les vecteurs
sont colinéaires, car leur déterminant vaut
- L'équation de la droite
passant par
et de vecteur directeur
est
En effet, dire que revient à dire que
et
sont colinéaires.
On obtient donc, en posant
soit
, ou finalement
- Extrêmement important !
Un vecteur directeur de la droite d'équation est
.
En effet, soient deux points (distincts) de cette droite.
Le vecteur peut être considéré comme
Or on a
En soustrayant membre à membre, on obtient
ou, si l'on pose ,
Cette équation admet une infinité de solutions , en particulier la solution évidente
, puisque l'on a de toute évidence :
[modifier ( modifier-411-section-5.cours)]II - Vecteurs orthogonaux
Rappel
Si l'on choisit une base orthonormale pour exprimer un vecteur par des coordonnées, alors si
, alors
En effet, , somme de deux vecteurs orthogonaux entre eux. Pythagore donne
mais comme , cela donne
.
Si la base choisie pour définir les coordonnées des vecteurs est orthonormale, alors deux vecteurs et
sont orthogonaux si et seulement si
Preuve
On peut appliquer le théorème de Pythagore aux normes (="longueurs") des trois vecteurs présents sur cette figure :
On écrit :
et comme
cela donne explicitement
ou, en développant le premier membre :
Une simplification immédiate donne
soit
(en effet, le produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul ; or
, donc on ne peut qu'avoir
)
[modifier ( modifier-411-section-6.cours)]Exemples
- Important : Un vecteur orthogonal (on dit aussi normal) à la droite
est
En effet, on a vu qu'un vecteur directeur de cette droite est
.
Il est clair que car
.
- Une perpendiculaire à la droite
, où
est un réel quelconque.
En effet, le vecteur , normal à
, est un vecteur directeur de
. Si
, alors on peut choisir comme vecteur directeur de
; or
, d'où
.
- L'équation de la droite
, avec
:
En effet,
et avec
soit
On donne un nom à la constante qui vient d'apparaître :
et l'équation de la droite est bien
(avec
réel quelconque ( le vecteur
n'implique que le choix des deux premiers coefficients,
et
)