Dernière version du 11.06.2008 02h59
a) Domaine de définition :
Remarquons d'abord que s'annule pour
, car 1 - 3 + 2 = 0.
Donc on peut le factoriser :
On remarquera que les premier et dernier terme du second facteurs ont été écrits directement, car .
Pour trouver , égalons les coefficients de
des deux membres :
, ce qui donne
Donc
Mais le second facteur s'annule aussi de façon évidente pour (puisque 1 + 1 - 2 = 0).
Donc , et
.
Remarque
On peut aussi effectuer une bonne vieille division euclidienne, comme à l'école primaire :
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La deuxième factorisation est immédiate, ainsi que sa vérification :
On peut écrire
(On rappelle que , essayer avec
)
Le domaine de définition de est donc défini par
, soit
, et
.
b) Limites aux bornes du domaine : la fonction étant définie en , il ne reste que la limite à l'infini à chercher :
c) Dérivons : comme .
On a donc
Ceci est du signe de , c'est-à-dire d'un polynôme de racines 1 et -1, positif (car du signe de
) à l'extérieur des racines, négatif à l'intérieur des racines.
Mais le dénominateur du quotient que constitue s'annule en 1 et -2.
(i) Regardons de plus près le cas : le numérateur tend vers 9 et le dénominateur vers
, donc
.
(ii) Regardons le cas .
On peut écrire
- Si
, ceci donne
et lorsque , tend vers
- Si
, on a
, et
pour , on a
On écrit parfois ces résultats :
On dit que la fonction admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite au point 1.
La courbe n'admet pas de tangente au point 1, mais deux demi-tangentes de coefficients directeurs .
Dressons le tableau de variation de :
d) Comportement de la courbe au voisinage des points -2 et 1
- Nous avons vu que
Cela veut simplement dire que la courbe admet une tangente verticale au point -2.
- D'autre part,
et
Cela veut dire que la courbe a une tangente de coefficient directeur à gauche de 1, et une autre de coefficient directeur
à droite de 1.
e) Courbe représentative
