Dernière version du 11.06.2008 01h44
a) Domaine de définition
Le trinôme , qu'on reconnaît instantanément pour
, a pour racines 0 et 2. A l'extérieur des racines, il est du signe de
, donc positif, et à l'intérieur, il est négatif. Donc
b) Limites
étant définie en 0 et 2, il ne reste à trouver que les deux limites à l'infini ; or
c) Variation
Rappelons que
Donc, ici
Cette dérivée est du signe de , donc positive si
et négative si
.
Dressons un tableau de variation :
d) Asymptotes
On se doute qu'il doit y avoir des asymptotes, car nous avons vu que
ce qui veut dire en particulier que
et
Pour en savoir plus, regardons ce que devient la différence entre et
lorsque
,
et aussi ce que devient la différence entre et
lorsque
:
Cherchons d'abord
Comme on ne peut soustraire à travers une racine carrée, essayons de supprimer les racines en utilisant une forme conjuguée comme suit :
Utilisons la propriété des limites de polynômes à l'infini : elles sont égales aux limites de leur terme de plus haut degré. On peut donc écrire
On peut encore écrire ce résultat
, ce qu'on doit comprendre comme
ce qui montre qu'au voisinage de , la courbe
admet une asymptote d'équation
.
De même, cherchons au voisinage de la limite de la différence
Cette "addition" n'en est pas vraiment une, car il faut se souvenir que et
.
Utilisons encore la même technique :
Attention, ici, , donc
!
On interprète encore ceci comme
soit
ce qui signifie qu'au voisinage de ,
admet une asymptote d'équation
.
e) Les deux asymptotes se coupent en un point dont l'abscisse est solution de l'équation
, soit
, ou
; l'ordonnée de ce point vérifie par exemple
.
Donc .
La première asymptote a pour équation ; son coefficient directeur est 1, donc il admet pour vecteur directeur
(Dès le départ, on a posé implicitement que la courbe représentative est tracée dans un repère
)
[Rappel : sur une droite de coefficient directeur a, chaque fois que j'avance de 1 dans la direction horizontale (x), je monte de a (ou je descends, si a < 0) ; voir ci-dessous]
La deuxième asymptote a pour équation ; son coefficient directeur est -1, donc il admet pour vecteur directeur par exemple
Définissons le repère , et appelons les axes
(vecteur unitaire
) et
(vecteur unitaire
)
On rappelle que le repère définissait les axes
(vecteur unitaire
) et
(vecteur unitaire
).
Un point du plan a pour coordonnées
dans
et
dans
, ce qui signifie
et
.
On peut relier ces deux formulations en utilisant la relation de Chasles :
, soit
Exprimons tout en fonction des vecteurs du premier repère :
ou
Les coordonnées d'un vecteur sur une même base étant uniques, cela nous donne
Ecrivons maintenant l'équation de dans
:
Pour obtenir l'équation de cette courbe dans , il suffit d'exprimer
en fonction de
, ce qui nous procurera la relation cherchée entre
et
:
soit
Or on a ici l'égalité de deux nombres positifs. Une telle égalité est équivalente à l'égalité de leurs carrés :
soit
On retrouve
, équation d'une hyperbole.
f) Traçons la courbe .
C'est une demi-hyperbole (la partie située dans le plan apparaît en pointillés).
