Dernière version du 11.06.2008 02h44
1) (i) Cherchons une solution particulière (n'importe laquelle, le plus simplement possible) de l'équation différentielle
Supposons qu'elle soit de la forme .
Alors elle vérifie
Pour identifier deux polynômes, on égale leurs coefficients de même ordre :
On obtient sans peine :
Donc
(ii) Si est la solution générale cherchée, on a
En soustrayant membre à membre, on obtient
En posant
on voit que est solution de l'équation "sans second membre" ou "homogène" :
Cette équation peut s'écrire
En intégrant les deux membres, on obtient
, où
est une constante quelconque, ce qui s'écrit aussi
On peut poser
Alors
Mais on remarque que la fonction nulle est une solution évidente de l'équation "homogène" :
En tout, on a
.
(iii) La solution générale est , soit
2. Cherchons la solution satisfaisant à la condition
:
Cette condition s'écrit :
soit
Alors
3. Cherchons la solution satisfaisant à la condition
:
Dérivons d'abord la solution générale :
La condition s'écrit :
d'où
et