PS1 - Démontrer la formule d'Al Kashi ; applications - Corrigé

1) On rappelle la "relation de Chasles N° 2" ou "Chasles soustractif" :




Elle nous donne ici

On veut
(puisque le carré scalaire d'un vecteur, c'est le carré de sa norme)


(même remarque que plus haut)
Comme
...On obtient immédiatement la formule d'Al Kashi :

Mais on aurait pu faire le même raisonnement en partant d'un autre sommet que  : on obtient en changeant les noms des sommets :

et

2) On a
(on rappelle que la seule formulation correcte se fait en radians : la fonction cosinus, par exemple, est une fonction qui vérifie , c'est-à-dire qui au réel fait correspondre le réel  !
Donc quand on écrit , on "exprime l'angle en radians", on n'utilise plus la fonction cosinus, mais une fonction qui à (en degrés) associe le nombre !)

3) Des formules d'Al Kashi, on tire

puis


On est parti de et
d'où l'on a

et l'on a choisi une "échelle" en posant .

En mode RADIAN (le seul vrai mode mathématique) la calculette donne
(radians)
(radians)
(radians)

Pour convertir en degrés, multiplions ces résultats par , ce qui donne
degrés.
degrés.
degrés.

Si l'on veut convertir en sexagésimal :
=46,567 46° = 46° + 0,56746° = 46° + 0,5674660'=46°34,0476'
=46°34'+0,0476' = 46°34'0,047660"=46°34'2,8"

On trouve de même
=28°57'18"
=104°28'39"

Pour se tranquilliser, on peut vérifier qu'on a assez précisément :