PS3 - Lieux géométriques, lignes de niveau - Corrigé

a) On cherche l'ensemble des points tels que
Faisons apparaître l'isobarycentre de et (c'est-à-dire le milieu de )
On peut écrire :

Développons les carrés scalaires et factorisons :

Or, étant le milieu de , ou l'isobarycenre de , on a . Il reste :

soit

Ainsi donc, l'ensemble des points est un cercle de centre et de rayon

b) On cherche l'ensemble des points tels que
On peut écrire cette équation sous la forme

Or et (on peut le démontrer en écrivant
)
En tout, on obtient

Appelons le projeté orthogonal de sur
On peut écrire

Comme le produit scalaire de deux vecteurs orthonogaux est nul, il ne reste que

Définissons le vecteur unitaire de , orienté de vers  :

Comme est colinéaire à , posons  : l'égalité devient :

Or . Il reste

Donc

L'ensemble des points , que nous cherchons, n'est autre qu'une droite perpendiculaire à et passant par le point défini par .