Dernière version du 22.06.2008 05h38
1) Cherchons l'ensemble des points
du plan tels que
D'abord, introduisons le barycentre
On peut écrire (puisque les carrés des normes sont des carrés scalaires) :
En développant,
Par définition d'un barycentre, on a bien sûr
D'autre part, l'identité fondamentale des barycentres
(pour tout point
)
permet d'écrire
, soit
et
De la même façon, on peut écrire
soit en fin de compte
L'égalité définissant l'ensemble des points s'écrit donc aussi
soit
ce qui signifie que cet ensemble est le cercle de centre et de rayon
2) Introduisons
L'ensemble cherché est décrit par l'équation
soit
La parenthèse est nulle, le produit scalaire disparaît.
Calculons rapidement et
:
Quel que soit le point , on a
Donc on a
et ainsi
De même, on a
et donc
En tout, l'équation définissant s'écrit
soit
L'ensemble est le cercle de centre
et de rayon
.