PS5 - Lieu géométrique, ligne de niveau - Corrigé

a) Cherchons l'ensemble des points tels que
()
Pour cela, introduisons
On peut écrire

En développant

Par définition du barycentre, la parenthèse est nulle.
On peut donc écrire

Si , alors l'ensemble des points est un cercle de centre et de rayon .
Si l'ensemble des points se réduit au seul point .
Si l'ensemble cherché est vide.

b) D'autre part, on a l'identité fondamentale des barycentres, qui permet d'écrire pour tout point du plan :

Avec cela donne instantanément

Calculons les coordonnées des vecteurs :
 ;
puis

d'où

Avec on obtient

Calculons
Donc

Donc

Avec on obtient

et donc

d'où

On peut écrire

Donc, si , l'ensemble est un cercle de centre et de rayon
Si , l'ensemble se réduit à
Si , l'ensemble est vide.