Dernière version du 22.06.2008 04h58
On veut résoudre l'équation paramétrique
(i) D'abord, remarquons que cette équation n'est pas forcément du second degré : si , elle se réduit à
, et c'est une équation du premier degré qui admet une solution :
.
(ii) Maintenant que nous avons traité ce cas un peu spécial, supposons . L'équation est bien cette fois du second degré.
Son discriminant vaut
Nous l'avons appelé et non
car il dépend de
, il est une fonction de
.
Comme est lui-même un trinôme de variable
, voyons son signe :
Pour cela, écrivons son discriminant [eh oui, le discriminant du discriminant ! 
]...
Appelons celui-ci (delta minuscule) :
Il est clair que le trinôme a deux racines distinctes :
et
.
est positif pour
extérieur aux racines (car son coefficient dominant
vaut +8), et négatif entre les racines.
Nous n'avons plus qu'à dresser un tableau résumant toutes ces éventualités :
Lorsque et que l'équation est du second degré, les solutions, qu'elles soient deux (distinctes) ou une (racine double), sont de la forme
et
Les racines doubles (les 2 cas où ) sont de la forme
.