Dernière version du 22.06.2008 16h35
Soit sur le cercle trigonométrique, c'est-à-dire le cercle de centre , origine d'un repère orthonormal direct
(direct veut dire
),
deux points ,
1) avec
et
Cela entraîne, en vertu de la formule de Chasles pour les angles :
En écrivant de deux manières différentes le produit scalaire , démontrer la formule d'addition :
2) En utilisant la parité des fonctions cosinus et sinus, prouver qu'on a également
3) On définit à présent par
et on laisse inchangé.
Sachant que lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est le cosinus de l'autre, montrer qu'en écrivant de deux façons différentes le produit scalaire , on trouve la formule d'addition
4) Connaissant la parité des fonctions sinus et cosinus, en remplaçant par -
, montrer qu'on a aussi :
Cadeau !
Il existe un moyen très simple et parfait pour se souvenir de ces 4 formules :
Se dire : "Les cosinus ne se marient pas et ne sont pas fidèles" et "Les sinus se marient et sont fidèles"
En effet, dans
et
... on voit que dans le second membre, il n'y a pas de mariages : les cosinus restent entre "eux", et les sinus entre "elles" !
D'autre part, le cosinus est menteur : quand il dit "+", c'est "-", et quand il dit "-", c'est "+", aussi le juge-t-on infidèle de nature !...
et dans
et
on voit au second membre il y a des mariages : sinus avec cosinus (2 couples unis en même temps !)
et aussi que le sinus dit la vérité : quand "elle" dit "+", c'est "+", et quand elle dit "-", c'est "-"... Elle est fidèle, spontanément ! 