PS6 - Preuve des formules d'addition par le produit scalaire - Corrigé

1) Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs vaut

et qu'avec une base orthonormale , si et , alors
.

Ici, on a

et

Alors on peut, soit écrire

soit

En égalant les deux expressions, on obtient bien
(1)

2) On sait que la fonction cosinus est pairE et la fonction sinus paire :

et

En changeant en - dans (1), on obtient

soit
(2)

3) A présent, on pose et toujours

Mais alors

On a aussi cette fois :

Or on sait que lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un vaut le cosinus de l'autre.
Il se trouve que et sont complémentaires l'un de l'autre.

Alors, on peut écrire, d'une part :

et d'autre part, comme

on obtient l'autre expression du produit scalaire :

En égalant les deux expressions du même produit scalaire, on obtient bien

(3)

4) En changeant en -, on obtient

soit