Dernière version du 23.06.2008 21h46
1) Le trinôme est instantanément reconnu comme
, trinôme de racines 0 et 2, de coefficient dominant
.
Donc il est positif à l'extérieur de , négatif à l'intérieur.
Le domaine de définition de est donc
.
Il n'y a que les limites à l'infini à calculer. Or
(On rappelle que la limite d'un polynôme à l'infini est la limite de son terme de plus haut degré)
2) La fonction est de forme ; sa dérivée est définie par
Donc
Avant de dresser le tableau de variation de , remarquons que
n'est pas définie aux points 0 et 2 (qui annulent son dénominateur).
Tableau :
Remarquons que lorsque ,
, cela veut dire que la tangente à la courbe au point 0 est verticale.
Idem lorsque ,
.
3) On a remarqué tout-à-l'heure que
ce qui veut dire
et
On peut donc soupçonner que au voisinage de
et que au voisinage de
.
Pour en avoir le coeur net, calculons
et
Donc
(la limite d'un polynôme à l'infini est la limite de son terme de plus haut degré)
et
Interprétons la première limite de la manière suivante :
soit
ce qui veut dire que la droite est asymptote à la courbe
au voisinage de
.
La deuxième limite s'interprète aisément comme
ce qui veut dire que la droite est asymptote à la courbe
au voisinage de
.
4)
5) Les deux asymptotes se coupent au point solution du système
Le point d'intersection est donc .
D'autre part, un vecteur directeur de , droite de coefficient directeur 1, est
(Le repère utilisé pour représenter
est
, orthonormal)
Prenons comme vecteur directeur de (cette droite est de coefficient directeur -1) le vecteur
Définissons un nouveau repère,
Convenons que dans le repère , un point
a pour coordonnées
, ce qui signifie
... et que, dans le repère , ce même point
a pour coordonnées
, ce qui signifie
Pour relier ces deux formulations, utilisons la relation de Chasles :
soit
ou
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales, soit
Dans , l'équation de
est
Mais ceci s'écrit aussi
Comparer deux nombres positifs revient à comparer leurs carrés, donc ceci s'écrit
ou
ou, pour mieux voir...
C'est l'équation d'une hyperbole dont les asymptotes sont les axes .
