Dernière version du 19.08.2008 20h57
1. Comme on a pour tout
et
,
il est clair que
Posons a priori
Il est assez légitime de poser , car
est la somme de
entiers, donc
est la somme de 0 entier, donc est nul.
Mais , donc
.
On a donc
soit
On a à identifier deux polynômes, donc à égaler leurs coefficients de même degré :
Donc
Résultat, on a bien
On obtient la formule de sommation
La vérification est facile : par exemple,
2. On a de même (pour tout )
et
Donc
Si l'on pose
et
alors
soit
Encore une fois, identifions les deux polynômes ainsi égalés :
Ce qui donne immédiatement :
Donc
soit
Le polynôme admet une racine évidente : -1, car 2 - 3 + 1 = 0.
Il se factorise donc immédiatement en
En tout, on obtient la formule de sommation
3) Posons
On pose encore
On trouve de même (pour tout entier )
Soit (pour tout )
Ceci donne le système
Ceci donne immédiatement
Donc
ou finalement, la formule de sommation
