ED2 - Equation différentielle linéaire du second ordre

Même si les cours actuels de Terminale n'en parlent pas, cela vaut la peine, ne serait-ce que pour résoudre les circuits électriques en courant alternatifs, avec résistances, capacités et bobines auto-inductantes.

Nous allons voir que nous sommes bel et bien capable de résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre.

1. Cas général pour l'équation sans second membre.

Considérons l'équation différentielle d'inconnue , fonction deux fois dérivables de la variable  :

(1)

Chercher les solutions de forme avec

On distinguera les cas où est positif, nul ou négatif.

On peut passer par des solutions qui sont des fonctions complexes. Dans le cas , montrer que est encore solution de (1)

Montrer que si et sont des solutions de (1), alors est aussi solution de (1), quelles que soient les valeurs des constantes .

2. Questions à résoudre, en guise d'exemples.

a) Soit l'équation

(2)

Chercher d'abord une solution particulière (on la devine polynômiale), puis montrer que si est la solution générale cherchée, alors est solution de l'équation

(2')

Trouver , puis donner la solution de (2) telle que

et

b) Soit l'équation

(3)

Résoudre l'équation par la même méthode.
Indication : chercher une solution particulière sous forme

On donnera une solution satisfaisant à

c) Soit l'équation

(4)

Mêmes questions.
Indication : on cherchera une solution particulière sous la forme
On donnera une solution telle que