Dernière version du 02.08.2008 23h26
Même si les cours actuels de Terminale n'en parlent pas, cela vaut la peine, ne serait-ce que pour résoudre les circuits électriques en courant alternatifs, avec résistances, capacités et bobines auto-inductantes.
Nous allons voir que nous sommes bel et bien capable de résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre.
1. Cas général pour l'équation sans second membre.
Considérons l'équation différentielle d'inconnue , fonction deux fois dérivables de la variable
:
(1)
Chercher les solutions de forme avec
On distinguera les cas où est positif, nul ou négatif.
On peut passer par des solutions qui sont des fonctions complexes. Dans le cas , montrer que
est encore solution de (1)
Montrer que si et
sont des solutions de (1), alors
est aussi solution de (1), quelles que soient les valeurs des constantes
.
2. Questions à résoudre, en guise d'exemples.
a) Soit l'équation
(2)
Chercher d'abord une solution particulière (on la devine polynômiale), puis montrer que si
est la solution générale cherchée, alors
est solution de l'équation
(2')
Trouver , puis donner la solution de (2) telle que
et
b) Soit l'équation
(3)
Résoudre l'équation par la même méthode.
Indication : chercher une solution particulière sous forme
On donnera une solution satisfaisant à
c) Soit l'équation
(4)
Mêmes questions.
Indication : on cherchera une solution particulière sous la forme
On donnera une solution telle que