CI7 - Doubles intégrations par parties évitables - Corrigé

1) On veut calculer

Première méthode : intégrer par parties 2 fois
On peut écrire

Astuce : Ne pas poser lourdement par écrit

Par contre, écrire (la 2e ligne étant au crayon à papier, qu'il suffira de gommer à la fin, laissant un calcul impeccable !) :

On a donc obtenu

Nous avons encore une deuxième et dernière intégration par parties à faire ; ce qui donne

[Vérification immédiate avec Xcas : taper int(exp(-x)*(x^2-3*x+1),x=0..2) et l'on obtient bien ]

Deuxième méthode (astuce) :
On devine facilement qu'une primitive de
est de forme

Pour déterminer , il suffit d'écrire , soit

Cela revient à identifier deux polynômes, ou encore à identifier leurs coefficients de même degré :

Donc

Finalement,

Cette méthode est nettement plus intéressante que celle de la double intégration par parties !

2) On veut calculer

On pourrait intégrer par parties (2 fois), mais c'est long et risqué :

Appliquons le même traitement à l'intégrale qui vient d'apparaître, en faisant les bons choix (car sinon, on va faire exactement marche arrière, obtenant quelque chose équivalant à 0 = 0) :

soit

Donc

D'où

Autre méthode (astuce) :

On devine qu'une primitive de est de forme

Pour déterminer , écrivons  :

Identifions les coefficients des cosinus et sinus :

On trouve aisément

D'où