AE1 - Une factorisation avec la "formule magique" - Corrigé

1. Soit à factoriser .

Appliquons la "formule magique" à  :

Donc

C'est factorisé !

2. Pour résoudre l'équation , on sait que le produit de deux réels est nul si et seulement si au moins l'un d'eux est nul :
Donc

L'équation admet donc les deux solutions :

3. Pour résoudre l'inéquation , on sait qu'un produit de deux réels est positif si les deux facteurs sont de même signe :
On doit avoir

• soit

C'est-à-dire qu'on doit avoir

soit

soit

Autrement dit,

On peut dire aussi que l'ensemble des solutions de l'inéquation est

4. Pour résoudre l'inéquation , on se rappelle qu'un produit de deux réels est négatif s'ils sont de signes contraires.
On a donc

• soit

• soit

C'est-à-dire

• soit

(ce qui s'écrit

• soit

(ce qui est impossible)

Finalement, les solutions sont tous les réels compris entre .

On peut dire également que l'ensemble des solutions est

.

Remarque
On aurait pu aussi dresser un tableau de signes, ce qui serait d'ailleurs la meilleure méthode si l'on veut résoudre à la fois les deux inéquations et  :

Les solutions des deux inéquations s'en déduisent par une simple lecture des signes + et -.