Dernière version du 02.08.2008 23h35
On veut montrer que les expressions suivantes présentent une valeur maximale ou minimale lorsque varie dans
.
1.
Ecrivons
puis appliquons la "formule magique" à ; on obtient :
(on rappelle que la moitié de )
On peut écrire à présent
On remarque que et la somme de deux réels : l'un, fixe, de valeur
, l'autre, variable, pouvant prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et
:
Il est donc clair que a une valeur minimale, qui n'est autre que
(puisque
peut prendre toute valeur entre
à
)
Ce minimum est atteint lorsque le carré s'annule, c'est-à-dire lorsque
2.
On peut écrire puis appliquer la formule magique à
:
Voyons : est obtenu en prenant un nombre fixe,
, et en lui soustrayant une quantité
, quantité qui peut varier entre 0 et l'infini.
Il est clair que admet un maximum, atteint lorsqu'on ne lui retranche rien, c'est-à-dire lorsque le carré s'annule :
La valeur maximale de est
, atteinte lorsque
( varie entre
et
)
