Dernière version du 26.07.2008 23h14
============== Partie A ==============
1) La fonction est définie pour
(à cause de
) et pour
(à cause de
). Donc
.
puisque
;
(comportement du logarithme en
)
en
n'est donc pas une forme indéterminée, et
.
D'autre part,
(bien remarquer que
de toute façon)
et
(comportement du logarithme en 0).
En tout ( n'est pas une forme indéterminée au voisinage de 0),
2. est le produit de deux fonctions dérivables sur
, elle est donc dérivable sur ce même intervalle, et
ou, si l'on veut,
3. a) est définie sur
à cause de son terme logarithmique.
Elle est également dérivable sur le même intervalle, et
Cette dérivée est positive pour , et négative pour
. Comme on travaille sur
, elle est strictement positive, et
est strictement croissante sur
.
b) (à cause du logarithme) et
; comme
est strictement croissante et continue, elle s'annule une et une seule fois entre 0 et
, en un point que nous appellerons
.
Calculons
et
.
Comme est strictement croissante et continue, on a
On peut donc affirmer que .
Affinons l'encadrement :
On peut donc affirmer de la même manière que
c) Puisque est strictement croissant,
,
et
.
4. a) On a
donc
, puis
Pour encadrer , regardons la fonction
Sa dérivée est
Cette dérivée est négative à l'extérieur de (voir signe du trinôme), donc négative au voisinage de
On peut donc écrire
soit
D'où l'on déduit l'encadrement d'amplitude 0,2 :
5. a) On reconnaît que , donc que
est du signe de
.
Donc pour
et pour
.
b) Traçons :
=============== Partie B ==================
1. a) Lorsque x varie de 0 à ,
décroît de
à
;
Lorsque x varie de à
,
croît de
à
.
b) s'annule en
.
Les tangentes en ces points sont donc "horizontales" (parallèles à ).
Comme de plus, , la tangente à
en
n'est autre que l'axe
.
2. a) Calculons
On a donc
.
b) Par simple distributivité,
c) D'abord, il est clair que
, puisque
est la primitive de
qui s'annule au point 1.
Nous avons déjà calculé
Calculons
En posant , donc
, on voit que
En tout,
, où
est une constante à déterminer.
Comme
, on voit que
, et finalement,
3. a) car
(on peut aussi dire, en posant , que le polynôme
se comporte comme son terme de plus haut degré au voisinage de l'infini, et
)
b)
La limite de en
est
, car
c) La dérivée de
est positive sur
, nulle en 1, négative sur
, nulle en
, positive sur
.
Donc
d) Tracé de et
:
4. Aire :
Tous calculs faits,
unités d'aires, soit (si l'on s'en tient à
),
Mais avec n'importe quelle calculatrice de poche graphique, on peut arriver à une meilleure approximation :
ce qui donne unités d'aire.
Remarque :
est précisément négative sur
, et l'on a donc exactement
.