Dernière version du 27.07.2008 18h26
1) L'équation se factorise en
soit
Regardons le cercle trigonométrique :
(i) L'équation correspond aux deux points
.
correspond à
(on peut trouver ce résultat en écrivant
:
Explication : l'angle peut être obtenu en tournant, à partir de l'angle nul (représenté par le point de coordonnées
) d'un angle de
, puis en revenant en arrière de
; en tout, on a tourné de
.
Le point correspond de toute évidence à
, mais cette valeur n'appartient pas à
. On le repère donc par
. (La fonction
étant périodique de période
)
(ii) L'équation correspond aux deux points
.
Il est clair que donne la solution
, et
, la solution
qui est hors de l'intervalle demandé. On prendra plutôt :
.
En tout, l'ensemble des solutions dans est
Pour avoir toutes les solutions dans , il suffit d'utiliser la périodicité de
:
2) L'équation
comporte deux "inconnues", le cosinus et le sinus de . Ramenons-le à une équation algébrique à une seule inconnue, en nous rappelant du fait que
:
Elle se factorise aisément :
Un cercle trigonométrique nous donne sans effort les solutions dans :
Les points donnent les solutions
et les points donnent les solutions
En tout,
Pour obtenir toutes les solutions réelles, il suffit d'ajouter des à celles-là :
.