T4 - Equation trigonométrique (utilisation de la tangente de l'arc moitié) - Corrigé

L'équation

s'écrit

soit de toute évidence

cette équation se simplifie immédiatement :

soit

On sait que l'équation générale

admet comme solution générale (dans )

Donc, puisque

l'équation s'écrit aussi

la solution en est

, avec

soit

Là, il y a un problème ! Avec la méthode vue à l'exercice T3, nous avons vu qu'il y avait deux solutions dans , or ici, la seule possibilité est de poser dans (2), ce qui donne

Essayons de voir où est ce problème. sont définies sur tout entier ; mais n'est pas définies aux valeurs .

Est-ce que finalement, une valeur de telle que n'est pas solution de (1) ?
Cela signifie que (dans ) serait solution.

Effectivement ! Puisque (1) s'écrirait

(soit , ce qui est vrai !)

Donc, cette remarque étant faite, on a bien

et

Cela prouve qu'il faut toujours être soigneux et prudent, et y regarder à deux fois... (au moins) !...