Dernière version du 29.07.2008 21h50
1)
Dérivons :
La fonction exponentielle étant strictement croissante, il est clair que , qui est au facteur 2 près la composée de la fonction exponentielle et de la fonction strictement décroissante
, est strictement décroissante.
On a donc
soit
ou
Donc on a de toute façon
2. a) est une fonction strictement croissante :
Soit
est bien contenu dans
Puisque , on en déduit (principe de récurrence) que tous les
appartiennent à
.
b) L'équation s'écrit
Soit la fonction
Elle est définie et dérivable sur , et
Comme ,
est donc strictement décroissante sur
.
Comme ,
puisque est une fonction strictement décroissante et continue, elle doit s'annuler en un point situé entre
et 2.
Faisons quelques essais à l'aide d'une calculette : on trouve à un millième près :
c) Montrons que sur
implique
, ce qui se traduit par
, ou si l'on ne sait de
et
lequel est le plus grand :
:
L'hypothèse s'écrit également
En effet, considérons la fonction
Elle est dérivable sur le même domaine que , et
.
Elle est donc décroissante, et
Or
On a aussi : définissons la fonction
Cette fonction est dérivable tout comme , et
Donc est croissante, et
, soit
ou
En tout, , soit
Application de ce principe :
On a , et pour tout
,
On a donc, puisque sur
:
, soit
.
On peut prouver par récurrence que, pour tout , on a
En effet, pour , on a bien
(puisque l'amplitude de l'intervalle
est
)
Ensuite, si pour un quelconque, on a
, alors
Comme , on a
, ce qui signifie que
d) Posons la condition :
Elle implique , soit
(en effet,
)
Pour calculer , partons de
et programmons une calculette :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,500 | 1,553 | 1,577 | 1,586 | 1,590 | 1,592 | 1,593 | 1,593 | 1,593 | 1,593 |
On a donc à près,