POL4 - Réécriture d'un polynôme en puissances de X - a - Corrigé

1. (tous les termes contenant en facteur s'annulent)

Dérivons la fonction polynôme :

donc
(on rappelle que 1! = 1)

Dérivons encore :

d'où

En poursuivant, on trouve successivement


...

(Il est facile de vérifier sur un exemple)

2. En posant


et en identifiant les deux expressions de , on voit que , les autres coefficients étant solutions d'un système d'équations linéaires triangulaires.
Nous n'allons pas aller trop dans la généralité au niveau du Lycée, mais disons que pour un polynôme du 3e degré par exemple,

ce qui donne le système

Ce système est triangulaire : on trouve en résolvant la première équation ; avec cette valeur de , on est assuré de trouver en résolvant la seconde, et ainsi de suite.

Un tel système admet toujours une solution (unique).

A présent, montrons que les coefficients sont bien ce qu'on a annoncé :

(tous les autres monômes s'annulent)

Dérivons :

d'où

Dérivons encore une fois :

d'où

On obtient successivement

...
(le polynôme est de degré , c'est-à-dire une fonction constante ; donc )

3.

Dérivons successivement

On obtient

donc finalement

soit

N.B. Ceci n'est intéressant que parce qu'on a pu utiliser une machine à calculer pour évaluer  ; ce calcul à faire "à la main" ou mentalement serait assez fastidieux...