Dernière version du 12.11.2008 03h33
On rencontre souvent la tâche à faire suivante :
Mettre la fonction rationnelle
sous forme
Nous appellerons partie entière de
.
D'ordinaire, on reprend la deuxième forme, on la remet sous forme d'une seule fraction, et l'on identifie les coefficients de deux polynômes, d'où tout un système d'équations à résoudre.
Nous proposons de faire apparaître au numérateur de des expressions partielles multiples de
, ce qui permet une division instantanée et l'apparition de termes de la partie entière de
Donnons un exemple et un contre-exemple :
Soit à mettre
sous la forme
Contre-exemple (ce qu'il vaut mieux ne pas faire !)
Ecrivons
Identifions cette forme avec celle de donnée au départ :
En résolvant ce système, on obtient
d'où
Exemple(ce qu'il est bon de savoir faire)
Explication : après , on fait apparaître
, car
, qui se divise automatiquement par
pour donner le terme
.
Evidemment, pour retrouver , il nous a fallu ajouter ensuite le terme
, que nous avons fait suivre de
, car
, qui se divise automatiquement par
pour donner le terme
.
Mais pour retrouver , après le terme
que nous avons introduit, il a fallu ajouter
, que nous avons fait suivre du terme
, car
, qui se divise par
pour donner le terme -3 ; à la fin, pour retrouver la constante -1, après
nous avons dû ajouter le terme
.