FR2 - Quelques astuces pour réduire une fonction rationnelle en éléments simples

Supposons que nous ayons une fonction rationnelle de la forme (relativement simple) :

(le dénominateur ne contient pas de facteur de forme )

Supposons que nous ayons à la mettre sous la forme, dite réduite en éléments simples :

Nous indiquons deux astuces :

1) Remarquer que

Or

(en effet, la limite d'un polynôme à l'infini, c'est la limite de son terme de plus haut degré)

2) Remarquer que la fonction
a une limite lorsque égale à .

Ensuite, remarquer que la fonction
lorsque tend vers

Enfin, remarquer que la fonction
, lorsque , tend vers .

Ces procédés donnent très facilement et très vite les coefficients cherchés .

Exemple
Soit à réduire la fonction suivante en éléments simples :

On voit facilement que l'on peut mettre la fonction sous forme

Regardons

on obtient

Regardons

Lorsque , , donc

Regardons enfin

Lorsque , , donc

En tout,