S2 - Calcul de sommes - Corrigé

1.

Identifions la dernière expression avec  :

Ce qui donne immédiatement  ; autrement dit

Alors

On voit que tous les termes se simplifient deux à deux, sauf le premier et le dernier ; on obtient finalement

Autre moyen de "voir" :
Ecrivons

...

================
En additionnant membre à membre ces égalités, et en "barrant" les termes opposés tels que , on obtient encore

2. Ecrivons

Identitions cette expression avec  :

On obtient de suite

Donc

On s'aperçoit que les termes se simplifient 3 par 3, sauf 6 termes situés en 1ère, 2e, avant-dernière et dernière ligne.
On obtient facilement :

P.S.
En prime, on obtient

et

On écrit aussi