D1 - Calcul de sommes - Corrigé

1. La formule du binôme de Newton donne immédiatement

2. La formule du binôme de Newton donne

3. En additionnant membre à membre les deux résultats précédents :

on obtient

d'où

4. La somme des termes de impairs est la différence

5. Ecrivons le binôme de Newton avec le choix de termes suivants :

Dérivons les deux membres par rapport à la variable  :

En donnant dans cette égalité la valeur 1 à , on obtient

6. Considérons la formule de Newton avec les termes suivants

La partie réelle de est

c'est-à-dire la somme que nous cherchons à évaluer.

Ecrivons sous forme exponentielle :

La somme cherchée vaut

On peut remarquer que le cosinus ne change pas si l'on ajoute 8 à  :

Ce cosinus ne peut donc prendre, au maximum, que 8 valeurs différentes (qui vont se répéter cycliquement) ;

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• pour , ou plus généralement, ,

• enfin pour , ou plus généralement, ,