S3 - Une suite qui finit par croître... Corrigé

1)

donc

On conjecture d'emblée que doit être (strictement) croissante.

Prouvons-la :

Calculons

On voit que est de même signe que .
Or comme , toutes ces différences sont positives. La suite est donc strictement croissante.

2)

donc

On peut conjecturer que la suite commence par décroître, puis finit par croître (et définitivement, si l'on se souvient du raisonnement fait plus haut : dès qu'elle commence à croître, elle ne peut que continuer)

3) a) sinon ne serait même pas défini.
Ecrivons que la suite commence à croître dès les premiers termes :

Comparer deux réels positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, ce qui nous donne

, et donc .

Si , alors et la suite est strictement croissante dès le rang 2.

Si , alors la suite est croissante dès son début.

b) b) Si , alors , et la suite commence par décroître. Supposons qu'elle décroisse à partir du rang 0.

Comme cette suite est positive et qu'elle décroît, tous ses termes sont des éléments de . Or si les sont confinés à cet intervalle, croît indéfiniment.
On aurait pour assez grand (puisque finit par devenir négligeable devant ), donc la suite finit par croître comme , ce qui constitue une contradiction.
Donc en fait, elle croît à partir d'un certain rang.

Vérification par l'exemple vu avec  :
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;

c) On a pour tout  :
Si converge vers une limite , le membre de gauche, , tendrait vers , et le membre de droite, tendrait vers l'infini avec (car ).
C'est une contradiction ( à partir du rang ).
Donc ne converge pas, et comme elle est strictement croissante, c'est qu'elle n'est pas majorée, et diverge vers .