S4 - Suite de Fibonacci - Corrigé

1) Cherchons une suite satisfaisant à (1) :

Il est clair que vérifie la condition (1), mais cela donne uniquement la suite nulle (et constante).

Supposons donc que , et simplifions en divisant les deux membres par  :

C'est une équation du second degré, de solutions

Les deux suites solutions sont donc et

2) Soient deux suites satisfaisant à (1) : pour tout , on a

et

En multipliant les termes de la première ligne par et ceux de la deuxième ligne par , on obtient

Soit en posant ,

. On a montré que toute combinaison linéaire de suites-solutions de (1) est une solution de (1).

3) Explicitons , en posant  :

On peut écrire immédiatement

Ce qui donne facilement

On obtient donc

ou, mieux,

C'est étrange, cette expression donne toujours des nombres entiers !! Vérifions à la calculette programmable, ou avec Xcas-Giac :

attention, les valeurs numériques peuvent ne pas apparaître d'emblée. Utiliser evalf(ans()) pour les avoir sous forme décimale.

Vérification par Xcas-Giac :

puis

evalf(f(0)) qui donne 1

evalf(f(1)) qui donne 1

evalf(f(2)) qui donne 2

evalf(f(4)) qui donne 5,...