CI14 - Volume et aire d'une sphère ; parallèle avec l'aire et le périmètre d'un cercle

Attention, ceci est un raisonnement intuitif, proche de celui du physicien.
Mais nous le donnons quand même pour sa valeur heuristique, c'est-à-dire pour son ouverture sur la découverte (et sa valeur d'outil de découverte) de nouveaux domaines en mathématiques comme en d'autres sciences.

1. Supposons que l'on sache que le périmètre du cercle de rayon est .
Alors on peut dire avec une très bonne approximation que l'aire d'une couronne extrêmement mince de rayons et est .

Transformons cette hypothèse en une considération de calcul différentiel :
Le périmètre d'un cercle de rayon est .
L'aire (infinitésimale) d'une couronne d'épaisseur , c'est-à-dire de rayons et est .

a) En déduire par intégration l'aire du disque de rayon .

b) Réciproquement, si l'on sait que l'aire d'un disque de rayon R est , en déduire que le périmètre d'un cercle de rayon est .

2. Supposons qu'on sache que l'aire d'une sphère de rayon est .
On peut dire avec une très bonne approximation que le volume d'une "couche sphérique" de rayons et est .

Ecrivons cette hypothèse en termes de calcul différentiel :
L'aire d'une sphère de rayon est .
Le volume (infinitésimal) d'une couche sphérique de rayon et d'épaisseur , c'est-à-dire de rayons et est .

a) En déduire par intégration le volume d'une boule sphérique de rayon .

b) Réciproquement, si l'on sait que le volume d'une boule sphérique de rayon est , en déduire que l'aire d'une sphère de rayon est