CI14 - Volume et aire d'une sphère ; parallèle avec l'aire et le périmètre d'un cercle - Corrigé

1. a) On a donc

Intégrons les deux membres entre et  ; on obtient l'aire du disque de rayon  :

b) L'aire du disque peut être considéré comme la somme (intégrale) des aires des couronnes d'épaisseur infinitésimale  :

où est le périmètre du cercle de rayon

Mais cette égalité signifie qu'une primitive de est

Donc

et le périmètre du cercle de rayon est donc .

2. a) On a donc

Intégrons les deux membres entre et  ; on obtient le volume de la boule sphérique de rayon  :

b) Le volume de la boule sphérique peut être considéré comme la somme (intégrale) des volumes des couches sphériques d'épaisseur infinitésimale  :

où est l'aire d'une sphère de rayon

Mais alors, cela implique que est une primitive de  :

.

L'aire de la sphère de rayon est bien .