T5 - Une équation du troisième degré résolue par la trigonométrie (et accessoirement les nombres complexes)

Considérons l'équation du troisième degré ( )

(1)

Pour la résoudre, posons

(pour l'instant, au lieu d'une inconnue, on en a deux : , mais nous sllons voir qu'un choix judicieux va nous aider au lieu de compliquer notre tâche selon toute apparence !)

1. Ecrire (1) en termes de et .

2. Ecrire en fonction de (on dit : linéariser )

3. En déduire une autre expression, (2), de l'équation (1). Regrouper les deux termes en .
En choisissant d'annuler ce terme, montrer que l'équation (1) équivaut au système

soit encore

4. Résoudre (4) en vous aidant d'une calculette scientifique. Vérifier numériquement ( ). Deviner les résultats exacts, et les vérifier ( !).