T5 - Une équation du troisième degré résolue par la trigonométrie (et accessoirement les nombres complexes) - Corrigé

1. L'équation

(1)

s'écrit, une fois qu'on a posé  :

2. Linéarisons

Avec les seules connaissances de Première : on sait que

On tire de là assez facilement :

Pour les oublieux, rappelons que et .

Avec les nombres complexes acquis en TS : c'est beaucoup plus simple et facile :

Pour les distraits "terminalistes", rappelons que les formules d'Euler donnent

ou

et qu'en Première, tout le monde a vu que

3. Transformons l'équation

soit en regroupant les termes apparentés :

(2)

Choisissons d'annuler le coefficient de dans cette équation : on obtient le système

Il est clair que contenu dans la 2nde équation ne correspond à aucune solution réelle, car elle donne , ce qui n'est manifestement pas une solution de l'équation (sinon 2 = 0 ( ))

On a donc forcément
(4)
et comme

la première équation s'écrit

soit

(4)

4. Résolvons le système obtenu :

avec

Ceci nous donne 3 possibilités d'obtenir des cosinus différents, soit des valeurs de différentes :

On trouve les valeurs de suivantes :

On peut le vérifier graphiquement, déjà :

Mais ces décimales nous rappellent irrésistiblement quelque chose, à savoir

On vérifie avec encore plus de précision que les solutions étaient en fait