Dernière version du 31.08.2008 00h02
Sommaire
1 I - Rappels sur le cercle trigonométrique, et la définition des fonctions cosinus et sinus
2 II - Changement de repère par rotation
2.1 Coordonnées des vecteurs du nouveau repère dans l'ancienne base
3 III - Preuve des formules d'addition
3.1 En prime : les formules de "soustraction"
3.1.1 Formule mnémotechnique (et rigolote !)
3.2 Encore un bonus : les formules des tangentes et les formules de duplication
3.2.1 Conseil de mémorisation
4 Complément : formules de la tangente de l'arc-moitié (''très utiles pour le calcul intégral post-bac, entre autres'')
[modifier (
modifier-537-section-1.cours)]I - Rappels sur le cercle trigonométrique, et la définition des fonctions cosinus et sinus
Soit le plan muni d'un repère orthonormal direct .
Orthonormal signifie que et
Direct signifie que le vecteur se transforme en
en tournant dans le sens direct, positif, ou encore "trigonométrique", c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre
et de rayon 1.
Par définition, si est un point du cercle trigonométrique, et si l'angle
vaut
, ses coordonnées sont
C'est d'ailleurs la définition adoptée dans le second cycle du secondaire, plus générale que celle du premier cycls (côté adjacen/hypoténuse, côté opposé/hypoténuse).
[modifier ( modifier-537-section-2.cours)]II - Changement de repère par rotation
Créons un second repère en définissant un vecteur unitaire tel que
, et un autre vecteur unitaire
tel que
.
On obtient ainsi un second repère orthonormal direct .
[modifier ( modifier-537-section-3.cours)]Coordonnées des vecteurs du nouveau repère dans l'ancienne base
Par définition des fonctions cosinus et du sinus, on a dans la base
, ce qui veut dire
Le vecteur satisfait à
,
puisque
Ses coordonnées dans la base sont donc
On peut exprimer en fonction de
; faisons une figure (en choisissant ici
) :
Les triangles et
sont isométriques (càd de mêmes dimensions respectives).
On a et
Or
On peut donc affirmer qu'en général (bon, on devrait faire aussi les cas , etc., mais les résultats seront identiques) :
Les coordonnées de dans la base
sont donc :
, soit
[modifier ( modifier-537-section-4.cours)]III - Preuve des formules d'addition
Soit un point du cercle trigonométrique, repéré par l'angle
.
Il est évidemment aussi repéré par l'angle .
Dans le repère , ce point
a pour coordonnées
, et dans le repère
, ce même point a pour coordonnées
.
Ce qui signifie
et aussi
En identifiant les deux expressions de relativement aux vecteurs
, on obtient les formules d'addition :
[modifier ( modifier-537-section-5.cours)]En prime : les formules de "soustraction"
On sait que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire ; cela se voit ici :
Cela s'écrit simplement :
Mais alors, en remplaçant par
, les formules (1) s'écrivent
[modifier ( modifier-537-section-6.cours)]Formule mnémotechnique (et rigolote !)
Les quatre formules
se retiennent aisément selon la formule :
"Les sinus se marient et sont fidèles ; les cosinus ne se marient pas et ne sont pas fidèles"
Explication : dans et
, les seconds membres contiennent des "mariages" du genre
, etc.
Les sinus sont fidèles, car quand ils disent "+", c'est "+".
Dans et
, les seconds membres ne contiennent pas de mariages, mais les cosinus restent "entre eux" et les sinus "entre elles".
Les cosinus ne sont pas fidèles car quand ils disent "+", c'est "-", et quand ils disent "-", c'est "+".
[modifier ( modifier-537-section-7.cours)]Encore un bonus : les formules des tangentes et les formules de duplication
Tangentes :
On écrit aisément
ce qui donne
On obtient de façon identique, ou mieux, en utilisant le fait que la fonction tangente est impaire () :
Duplication :
En posant dans (1), on trouve
et
Comme , on a encore
et
On a aussi facilement :
[modifier ( modifier-537-section-8.cours)]Conseil de mémorisation
Il est conseillé de retenir ces résultats sous forme
[modifier ( modifier-537-section-9.cours)]Complément : formules de la tangente de l'arc-moitié (très utiles pour le calcul intégral post-bac, entre autres)
Posons
La formule (5) donne immédiatement
Utilisons la formule
qui n'est rien d'autre que l'égalité dont on a divisé les deux membres par
.
Alors
Pour finir, écrivons
On retiendra :
Complément pour les élèves de classes supérieures
donc
ce qui débloque pas mal de calculs d'intégrales, transformant une intégrale remplie de fonctions trigonométriques en une recherche de primitive de fraction rationnelle !
