Dernière version du 31.08.2008 00h49
Sommaire
1 Préliminaires
2 Formule de soustraction des cosinus
3 Formule d'addition des cosinus
4 Formule d'addition des sinus
[modifier (
modifier-538-section-1.cours)]Préliminaires
Considérons les vecteurs du plan munis d'une base orthonormale directe .
(directe signifie que pour transformer en
, on le tourne de
dans le sens positif, c'est-à-dire inverse des aiguilles d'une montre).
Soient deux vecteurs unitaires et
, repérés par les angles
et
On a
Les coordonnées de ces vecteurs dans la base orthonormale sont
[modifier ( modifier-538-section-2.cours)]Formule de soustraction des cosinus
Ecrivons le produit scalaire
La base étant orthonormale, il s'écrit aussi selon la formule , soit
En comparant les deux expressions de ce produit scalaire, on obtient
(1)
[modifier ( modifier-538-section-3.cours)]Formule d'addition des cosinus
En changeant en
, et en tenant compte du fait que la fonction cosinus est paire (
) et que la fonction sinus est impaire (
), on obtient
(2)
[modifier ( modifier-538-section-4.cours)]Formule d'addition des sinus
On sait que, lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
Remplaçons par
dans (1) :
soit
et bien sûr, avec la parité de et
:
Astuce mnémotechnique pour savoir ces 4 formules
On peut retenir : "Les sinus se marient et sont fidèles; les cosinus ne se marient pas et ne sont pas fidèles"
En effet, aux deux premières lignes, il y a des mariages tels que par exemple ;
les sinus sont fidèles car lorsqu'ils disent "+", c'est "+";
aux deux dernières lignes, pas de mariage : on a des termes et
où les cosinus restent entre eux, et les sinus... entre elles !
Et les cosinus ne sont pas fidèles, car lorsqu'ils disent "+", c'est "-", et lorsqu'ils disent "-", c'est "+" !
