Dernière version du 31.08.2008 02h26
Sommaire
1 Rappels : multiplication de nombres complexes, formules de Moivre et d'Euler
2 Formules d'addition
3 Formules de duplication
4 Formules de multiplication
5 Linéarisation
Nous allons voir que les nombres dits complexes permettent de substantielles simplifications dans l'obtention de résultats en trigonométrie, et facilitent considérablement notre travail.
[modifier (
modifier-539-section-1.cours)]Rappels : multiplication de nombres complexes, formules de Moivre et d'Euler
On rappelle la règle de multiplication :
(vérifiable instantanément, connaissant les égalités et
)
La formule de Moivre s'énonce, pour :
(1)
Les formules d'Euler partent de la définition (qui sera prouvée dans l'enseignement supérieur) :
(2)
et en changeant en
:
(2')
(en effet, la fonction cosinus est paire, et la fonction sinus est impaire)
En additionnant membre à membre, puis en soustrayant membre à membre (2) et (2'), on obtient
On retiendra aussi ces résultats sous la forme
On rappelle aussi la formule du binôme de Newton :
où les coefficients binomiaux se trouvent tout simplement en faisant quelques additions dans le dit "triangle de Pascal" :
| n\k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Par exemple,
et
[vérification facile par Xcas-GIAC : taper expand((x+4)^4) et expand((x-2)^5).]
[modifier ( modifier-539-section-2.cours)]Formules d'addition
Ecrivons
Il suffit d'égaler les parties réelles des deux membres de l'égalité pour obtenir
et d'égaler les parties imaginaires des deux membres pour obtenir
En remplaçant par
, on obtient immédiatement (voir parité de cos et de sin) :
[modifier ( modifier-539-section-3.cours)]Formules de duplication
On utilise la formule de Moivre :
La partie réelle des deux membres donne
(on a utilisé , soit
)
[modifier ( modifier-539-section-4.cours)]Formules de multiplication
On peut généraliser le résultat précédent :
soit en égalant les parties réelles des deux membres :
soit enfin
On continue aisément la série de résultats analogues :
et bien, sûr, plus généralement :
nous donne
et
[modifier ( modifier-539-section-5.cours)]Linéarisation
On veut linéariser, c'est-à-dire transformer en une combinaison linéaire de cosinus et de sinus, le nombre
ou
, ce qui est bien utile pour intégrer par exemple.
Il suffit d'appliquer les formules d'Euler ; par exemple,
ou