Dernière version du 06.09.2008 19h11
Sommaire
1 Distances et angles
2 Translations
3 Homothéties
3.1 Composée de deux homothéties
4 Rotations
Les nombres complexes, dans le domaine de la géométrie plane tout comme en trigonométrie, permettent une simplification appréciable du travail et de la mémoire.
[modifier (
modifier-540-section-1.cours)]Distances et angles
On sait que tout point dans le plan muni d'un repère orthonormal direct
correspond à un nombre complexe, son affixe
, et réciproquement.
De même tout vecteur du plan correspond à un nombre complexe, son affixe
.
La distance du point à l'origine est le module de
:
ainsi que la norme du vecteur :
L'angle que fait avec le vecteur unitaire
est l'argument de
:
ainsi que l'angle que fait avec
:
Bien sûr, on a, en posant ,
La distance de deux points et
est
L'angle de deux vecteurs est
Ainsi, pour trois points du plan, on aura
puisque
[modifier ( modifier-540-section-2.cours)]Translations
La translation de vecteur est la transformation (notée
) qui à tout point
du plan, associe le point
du plan, tel que
Si dans un repère quelconque, on a
et si
, alors
La translation est donc définie par
Ce qui se traduit immédiatement, si l'on note
,
par
A partir de cela, il est facile de voir que
et que
(la réciproque d'une bijection
est définie comme la seule bijection telle que)
et
[modifier ( modifier-540-section-3.cours)]Homothéties
L'homothétie du plan, de centre et de rapport
(
non nul et
) est définie comme faisant correspondre à tout point
du plan, le point
tel que
On la note .
Ce qui se traduit immmédiatement (on pose toujours = affixe de
,
= affixe de
) par
égalité qui est de la forme
où
est une constante complexe quelconque.
Toutes les équations de forme , avec
décrivent une homothétie avec un centre donné et un rapport qui n'est autre que
:
En effet, le centre est le point invariant de l'homothétie ()
L'affixe du point
satisfait donc à
, soit
, ce qui est bien défini puisque
.
[modifier ( modifier-540-section-4.cours)]Composée de deux homothéties
- Si
, c'est-à-dire
, la composée
de deux homothéties
et
est une homothétie de rapport
:
En effet, si , alors en posant
,
,
,
, on a
et
On peut écrire puis
ce qui est bien de la forme
, où
est une constante complexe.
- Si
, alors on trouve au bout du même raisonnement
, et
.
[modifier ( modifier-540-section-5.cours)]Rotations
Rotation d'un vecteur ou rotation d'un point autour de l'origine, d'un angle .
Il est clair que si un vecteur ou un point
est repéré en coordonnées polaires par
, c'est-à-dire
et
alors l'effet de la rotation d'angle sur le vecteur, ou de la rotation de centre
et d'angle
, est de transformer
en
.
Si l'on pose = affixe de
ou de
, alors la rotation s'écrit
avec
=affixe de
ou de
vérifiant
.
Pour une rotation dans le plan (des points), de centre (d'affixe
) et d'angle
, il est clair que cette rotation revient à une rotation du vecteur
; comme l'affixe de
est
, et l'affixe de
est
, cette rotation s'écrit
cette écriture est de la forme