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Sommaire
1 Principe des antennes paraboliques
2 Mise en équations
2.1 Equation de la parabole de foyer et de directrice donnés
2.2 Posons le problème
3 Preuve du théorème de Poncelet
(Théorème de Poncelet)
[modifier (
modifier-541-section-1.cours)]Principe des antennes paraboliques
Nous nous proposons de prouver le principe, démontré par le mathématicien Poncelet au XVIIe siècle, à la base des antennes paraboliques, à la base de la télécommunication spatiale, ou des télescopes à miroir, qui ont permis le développement de l'astronomie du système solaire et jusqu'aux galaxies les plus lointaines, dans le domaine visible ou non du spectre électromagnétique.
Les antennes dites paraboliques sont des miroirs dont la forme est un paraboloïde de révolution, surface obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie :
Un paraboloïde de révolution est l'ensemble des points de l'espace équidistants d'un point appelé foyer et d'un plan appelé plan directeur.
Le parabololoïde de révolution a un axe de symétrie, la perpendiculaire à la directrice passant par le foyer.
Nous ferons la preuve sur une coupe selon un plan passant par l'axe de symétrie du paraboloïde, plan qui est également un plan de symétrie de cet objet.
On sait, d'après la loi de Descartes pour les miroirs, qu'un rayon lumineux réfléchi par un miroir satisfait à l'égalité des angles d'incidence et de réflexion.
est l'angle formé par le rayon incident et la normale au miroir au point d'impact du rayon ;
est l'angle formé par le rayon réfléchi et la normale au miroir au même point.
Le rayon incident et la normale au point d'impact du rayon définissent le plan d'incidence.
Le rayon réfléchi est inclus dans ce plan, et les angles et
sont égaux.
[modifier ( modifier-541-section-2.cours)]Mise en équations
[modifier ( modifier-541-section-3.cours)]Equation de la parabole de foyer et de directrice donnés
Considérons une coupe du paraboloïde par un de ses plans de symétrie : cette coupe est une parabole de même foyer et de directrice , trace du plan de symétrie avec le plan directeur.
Si et
, alors l'équation de la parabole, ensemble des points du plan équidistant de
et de
, est
soit
En effet, rappelons que la distance du point à la droite
est
Ici, l'équation de la directrice est .
Développons l'équation de la parabole, sachant que comparer deux nombres positifs équivaut à comparer leurs carrés :
soit
[modifier ( modifier-541-section-4.cours)]Posons le problème
On veut démontrer qu'un rayon lumineux parallèle à l'axe de la parabole tombant sur un point de cette parabole, est réfléchi vers le point
, foyer de la parabole.
Autrement dit, que l'angle entre le rayon incident en et la normale en ce même point est égal à l'angle entre le rayon
et la même normale.
Appelons l'abscisse du point
. Alors
.
Il est clair qu'un vecteur directeur de la droite représentant le rayon incident est .
La tangente à la parabole au point a un coefficient directeur
.
Un vecteur tangent au point est donc
; mais alors un vecteur normal au point
est
, ou mieux : nous prendrons le vecteur colinéaire
.
Ecrivons les coordonnées du vecteur .
[modifier ( modifier-541-section-5.cours)]Preuve du théorème de Poncelet
Le théorème dit que .
Montrons ici que (ce sera suffisant pour nous convaincre de l'efficacité des miroirs paraboliques !)
Or, en utilisant le produit scalaire
et
On trouve
et
Il nous suffira de montrer que
soit
ou
ce qui est vrai.