F5 - Fonctions sinus et cosinus hyperboliques - Corrigé

1. est manifestement pair, puisque

et est impair, puisque

2. Ces fonctions sont définies sur tout , puisque la fonction exponentielle l'est :

Donc les seules limites à chercher sont celles à l'infini :

En effet, et , et est pair.

pour les mêmes raisons concernant la fonction exponentielle.

Et comme est impair, on a

3. Calculons :

Factorisons pour mettre en évidence  :

(évidemment, )

Ce qui nous donne

Il est clair que

Les deux courbes tendent à se confondre l'une dans l'autre au voisinage de  ; on dit qu'elles sont asymptotes l'une de l'autre au voisinage de .

5. On sait que

Donc

On peut remarquer que, pour tout , (somme de deux fonctions strictement positives, des exponentielles)

On étudie d'abord les variations de , dont la dérivée est toujours strictement positive, ainsi qu'on vient de le dire :

Pour les variations de , on a besoin du signe de sa dérivée,  :

Or, connaissant la fonction exponentielle, on a simplement

Autrement dit,

On a donc :

6.