Bijections, bijections réciproques

[modifier ( modifier-550-section-1.cours)]Bijections

1. Rappelons qu'une fonction est un être mathématique qui fait correspondre à certains éléments , un et un seul élément , noté aussi (image de ).
Le domaine de définition de est l'ensemble des qui ont une image :

( se lit "il existe" ou "il existe au moins un...")

2. Une application est un être mathématique qui fait correspondre à tous les éléments un et un seul élément , noté aussi (image de ).

Une application est simplement une fonction dont le domaine de définition remplit tout l'ensemble de départ :
.

3. Une application est dite bijective, ou est appelée bijection de A sur B, si tout élément a un et un seul antécédent

Exemples et contre-exemples
1) est une fonction, mais pas une application : en effet, -3 n'a pas d'image.

2) est une application, puisque tout élément de l'ensemble de départ a une image (et une seule) ; mais ce n'est pas une bijection, car dans l'ensemble d'arrivée , -1 n'a pas d'antécédent.

3) est une bijection : tout élément de l'ensemble de départ a une image , et tout élément de l'ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent , puisque (les deux ensembles de départ et d'arrivée étant )

4) est une bijection. Voir :

Cette fonction est strictement croissante sur son domaine de définition. On a
,
on en déduit
, puisque l'on ne peut avoir

Tout élément de a (par construction) un antécédent dans  ;

Cet antécédent est unique, car s'il y en avait deux distincts, , alors , ce qui serait en contradiction avec .

[modifier ( modifier-550-section-2.cours)]Bijections réciproques

Si l'on considère une bijection , alors tout élément a un et un seul antécédent .
On a ainsi mis en évidence l'existence d'une application que nous appellerons , de vers , définie par

Cette application est aussi une bijection, puisque fait correspondre à tout un et un seul élément , ce qui veut dire que fait correspondre à tout élément (ensemble d'arrivée de ) un et un seul antécédent .

On appellera donc la bijection réciproque de .

Exemples

1) admet pour réciproque  ; en effet, pour , on a

ce qui se traduit par

2) admet pour réciproque (fonction exponentielle) ; en effet

3) est une bijection (preuve : exercice).
La bijection réciproque est la fonction
définie par

Propriété des courbes représentatives de et

Il est clair que si par , alors par .
On a donc le point de coordonnées dans , et le point de coordonnées dans .

Montrons que les points sont symétriques par rapport à la droite d'équation (en repère orthonormal) :

(1) Le milieu de a pour coordonnées  ; il appartient donc à .
(2) la droite est orthogonale à , puisque son coefficient directeur est

et le coefficient directeur de est 1. Le produit des deux coefficients directeurs est donc -1.

Nous pouvons maintenant énoncer :
Les courbes représentatives de et de sont symétriques par rapport à la droite .

Exemples
1. Carré et racines carrées () :

(on a aussi représenté la droite pour mettre en évidence la symétrie)

2. Logarithme et exponentielle :

3. Tangente restreinte à et Arc tangente :

[modifier ( modifier-550-section-3.cours)]Quelques bijections réciproques utiles

[modifier ( modifier-550-section-10.cours)]Bijections réciproques et dérivées

Dérivée d'une fonction composée :
Soit (on rappelle que cela signifie que )

On note ceci parfois en abrégé : (en omettant les "x")

Alors

Preuve :

Or comme est dérivable au point , lorsque .
On peut poser , en se rappelant que lorsque .

On peut donc écrire

(par définition de la dérivée d'une fonction en un point)

Bijections réciproques et fonctions composées

Si et sont deux bijections réciproques l'une de l'autre, alors,
pour tout , en posant , on peut écrire

Autrement dit,
.

De même, si , avec , alors

,

Autrement dit,

Or la dérivée de la fonction est

Donc

ou encore

ce qui signifie

Exemples
1. La fonction est la bijection réciproque de la fonction  ; sa dérivée pourrait se trouver en écrivant

(formule connue)

(en posant )

2. La fonction est sa propre dérivée. On pourrait en déduire la dérivée de sa bijection réciproque,  :

(en posant )