Dernière version du 07.11.2008 01h16
Sommaire
1 Principe
2 Quelques exemples
2.1 1. Aire du disque
2.2 2. Un calcul avec trinôme au dénominateur
[modifier (
modifier-551-section-1.cours)]Principe
Nous l'admettrons à partir d'un raisonnement heuristique, d'une approximation plausible.
Soit l'intégrale
Si je peux trouver une bijection u dérivable telle que , alors je puis écrire
, soit formellement
Alors si , on peut écrire
(Formule de changement de variable dans une intégrale)
[modifier ( modifier-551-section-2.cours)]Quelques exemples
[modifier ( modifier-551-section-3.cours)]1. Aire du disque
Le cercle de centre O et de rayon R a pour équation
On peut écrire l'équation du demi cercle du plan comme
Alors l'aire du demi-disque est
Astuce : si l'on posait
soit
l'intégrale se transforme en
(en effet, )
Comme on sait que
On trouve pour l'aire du disque entier
[modifier ( modifier-551-section-4.cours)]2. Un calcul avec trinôme au dénominateur
Calculons
Ce trinôme ne se factorise pas, ce qui nous aurait bien aidé (mise sous forme d'éléments simples), en effet, son discriminant est .
Sous forme canonique, il s'écrit
Il est clair que nous avons tout à gagner en posant :
ce qui donne immédiatement
L'intégrale s'écrit