Formules de trigonométrie et nombres complexes

Avis :
On n'a pas besoin d'être déjà en Terminale pour aborder cette leçon !
En effet, pour aborder les nombres complexes, il suffit d'admettre l'existence d'un nombre (non réel, dit "unité imaginaire") i tel que

Et le gain net en trigonométrie est assez considérable. En effet, avant la Terminale, la trigonométrie est assez laborieuse. Mais en Terminale, grâce à la connaissance des nombres complexes, une bonne partie en devient évidente, découlant simplement de calculs élémentaires.

[modifier ( modifier-566-section-1.cours)]Rappel des formules d'addition et propriété fondamentale des nombres complexes

Rappelons (ceci a été prouvé dans deux autres leçons sur Daskoo, avec des méthodes différentes) :

et

Considérons le produit

Il se développe en

Mais on reconnaît ici

Retenons donc la formule (de toute première importance) :

[modifier ( modifier-566-section-2.cours)]Formule de Moivre

En posant , (1) s'écrit :

soit en développant le premier membre :

soit
[rq. pour non-élèves de Terminale : on prouve aisément que ] :

ce qui donne finalement

mais aussi

soit finalement

et

Mais on peut généraliser, en raisonnant par récurrence (voir leçon sur Daskoo) :

cela donne, pour tout

(Formule de Moivre)

Ce qui donne par exemple

soit, en séparant partie réelle et partie imaginaire (voir plus haut) :

soit finalement :

et :

soit finalement :

[modifier ( modifier-566-section-3.cours)]Formules d'Euler

On pose, à la suite d'Euler,

et comme (la fonction est paire, impaire),
en changeant en , on obtient

En additionnant puis soustrayant membre à membre (3) et (4), on obtient successivement les importantes (car très utiles) formules :

Leur utilité ?
Je veux linéariser par exemple , c'est-à-dire l'exprimer en somme algébrique de cosinus et de sinus, sans élévation à une puissance quelconque.

Il suffit d'écrire :

Or

Donc on obtient

soit

Cela fait pas mal de formules de trigonométrie qui deviennent simplement le résultat de calculs algébriques élémentaires !