Dernière version du 26.12.2008 01h42
Sommaire
1 Exposants réels irrationnels
2 Exposants imaginaires
3 Puissances à exposant complexe
3.1 Puissances d'un réel
3.2 Puissances d'un nombre complexe
3.2.1 Forme exponentielle d'un nombre complexe
3.2.2 Puissance d'un nombre complexe (non nul) avec exposant complexe
Ceci est juste une revue de ce qu'on entend par "puissance d'un nombre" en donnant au nombre des définitions de plus en plus élaborées et parfaites.
.
[modifier (
modifier-578-section-1.cours)]Exposants réels irrationnels
Ces exposants sont les réels qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qui ne peuvent être écrits comme quotients de deux entiers.
L'ensemble des nombres rationnels est
L'ensemble des irrationnels est donc (ensemble des réels privés des nombres rationnels, lire "
moins
").
La fonction logarithme népérien a la propriété suivante :
C'est une bijection de sur
:
Cela veut dire que tout nombre correspond à un et un seul réel
,
et que tout nombre correspond à un et un seul réel strictement positif
tel que
.
Cette correspondance dite "bi-univoque" ou "bijective" entre et
(c'est-à-dire telle que chaque élément de l'un des deux ensembles correspond à un et un seul élément de l'autre ensemble) a sa réciproque, appelé "fonction exponentielle" (exp):
Pour tout , il existe un et un seul
tel que
, et l'on écrit inversement :
exp(y).
On démontre qu'il existe un réel positif (
) tel que l'on peut toujours écrire
exp(y).
On a donc toujours l'équivalence
Voyons à présent si l'on peut définir
avec
Ecrivons
Puisque n'est définie que sur
, nous avons déjà la condition restrictive
. Le réel
n'est soumis à aucune condition.
Mais la définition (voir plus haut) de la fonction exponentielle permet d'écrire
En conclusion, si et
réel quelconque, on peut définir
par
, ce qui est parfaitement clair, connaissant la fonction logarithme népérien.
[modifier ( modifier-578-section-2.cours)]Exposants imaginaires
Soit l'unité imaginaire. C'est un nombre n'appartenant pas à
, mais à un sur-ensemble de
appelé
, ensemble des nombres complexes :
et
Son carré vaut (c'est pourquoi il ne peut être réel !) :
On le dit imaginaire, mais il rend des services considérables et parfaitement "réels", car sans lui, des progrès immenses auraient manqué en mathématiques et même en physique !
On pose
Cette notation "exponentielle" que nous ne prouverons pas ici, est tout de même extrêmement "plausible", puisque l'on retrouve
1)
2)
Or en trigonométrie, on démontre que
et
ce qui permet d'écrire le résultat de la multiplication précédente :
soit
propriété caractéristique de l'exponentiation.
[modifier ( modifier-578-section-3.cours)]Puissances à exposant complexe
[modifier ( modifier-578-section-4.cours)]Puissances d'un réel
On a naturellement, en étendant à les propriétés de l'exponentiation dans
:
[modifier ( modifier-578-section-5.cours)]Puissances d'un nombre complexe
[modifier ( modifier-578-section-6.cours)]Forme exponentielle d'un nombre complexe
On peut représenter un nombre complexe comme point d'un plan muni d'un repère orthonormal, le point
:
On peut dès lors définir
1) Le module du nombre complexe :
2) L'argument du nombre complexe :
On peut donc écrire
soit (forme exponentielle de ) :
(remarque : et
n'existe pas si
)